推导弹性力学极坐标中平衡微分方程和几何方程的解析法

2021-01-06陈彦陈丰邵红才

力学与实践 2020年6期

陈彦陈丰邵红才

(扬州市职业大学土木工程学院，江苏扬州225000)

平衡微分方程和几何方程是弹性力学课程中非常重要的内容。教材[1]中平面问题极坐标中的平衡微分方程是先取径向和环向的微元体，然后按照静力学的平衡条件导出；几何方程是先取径向和环向的微线段，然后按照线应变和切应变的定义导出。推导方法虽然和直角坐标系一样，但极坐标中环向的坐标线是曲线，导致推导过程的难度变大，容易出错，最后方程的项增多，形式也不如直角坐标中的方程那样对称，这种方法可以归结为几何定义法。事实上，对于极坐标中的平衡微分方程和几何方程，可以从直角坐标中的方程直接导出，不需要作图。根据直角坐标和极坐标中偏微分算子的转换式、应力和应变分量的坐标变换式以及基矢量变换矩阵，提出了推导极坐标中平衡微分方程和几何方程的解析法，将直角坐标中的方程直接变换成极坐标中的形式。