高云峰

(清华大学航天航空学院，北京100084)

我曾经为学生设计过一个“悬崖勒马”的探究项目：小马身上连一根绳子，加上配重后，可以让小马走到悬崖边上(桌面边界当悬崖，图1)。让学生探究配重与小马的运动学和动力学关系，即如何让小马不落下悬崖但是又尽可能走得远？

图1 探究活动

后来中央电视台导演到我实验室参观，对我设计的一些科学游戏(包括悬崖勒马)很感兴趣，后面就合作变成了《加油！向未来》节目中的大型游戏。节目中把小马改为小车，人坐在其中。把人和小车作为一个整体，配重暂不考虑尺寸大小。即使这样简化后，装置的运动也是很复杂的，原因是它的自由度在1～5之间变化。

1 第一阶段建模

这一阶段小车完全在台面上运动，系统有一个自由度：小车质心位移x。装置的模型见图2，参数如下：小车长为a，高为b，质量为m1；质心距离前端为a1，距离底部为b1；系绳处距离底部为h；配重质量为m2；绳长为l，不计质量且不可伸长；台面长为L，摩擦系数为μ1。装置各部分受力图见图3，这一阶段绳子拉动小车运动，绳子与台面角度为θ，边缘A点考虑为一段微小圆弧(只影响绳子与接触面的张角，不影响水平位移)，摩擦系数为μ2，绳子与圆弧的张角为π/2-θ。

图3 第一阶段受力图

根据各部分的受力情况，可以列出动力学方程及补充条件为

其中tanθ=h/(L-x-a1)。

方程(1)是微分-代数方程，在数值计算中，可以先把¨x当作代数量，求出¨x后再求微分方程(在下一篇中详细介绍)。在方程(1)中令¨x＞0，可以得到小车从静止到运动的临界质量比为