殷雅俊

(清华大学航天航空学院工程力学系，北京100084)

本文标题涉及了三个关键词：虚物质导数、局部变分、张量变分学，其中，虚物质导数和局部变分是似曾相识的词汇：虚物质导数似乎只是在经典物质导数前面加了一个“虚”字；局部变分似乎只是在经典变分前面加了一个限定词“局部”。

读者也许会有疑问：“为何多此一举？”“这不是玩弄词藻吗？”作者的辩解如下。引入虚物质导数和局部变分概念，是为了实现三个意图：一是弥补张量分析学概念体系中破缺的对称性；二是为张量变分学奠定基础，三是为张量的协变变分学开辟道路。

限于篇幅，本文主要聚焦于前两个意图，即概念体系的对称性和张量变分学。而张量协变变分学，则是后续文章综述的重点。本文包括如下内容：(1)简要回顾经典变分思想，评述其概念上的局限性；(2)拓展经典物质导数，引入虚物质导数概念；(3)依托虚物质导数，类比张量微分概念，定义张量局部变分概念，塑造张量变分与张量微分之间的对称性；(4)类比张量微分学，展示张量变分学，揭示张量变分学与张量微分学之间的对称性。

1 变分：一个“一句话说不清楚”的概念

大学时代，学习数学分析。课堂上，老师提出要求：“微分与积分的关系是什么？请用一句话说清楚。”作者小心翼翼地回答：“逆运算。”老师挑起大拇指：“高，实在是高！用一句话说清楚已经相当不易，你竟然用一个词就说清楚了。”高兴之余，老师进一步提高标准：“请用一个字说清楚！”受到老师的称赞，信心大增，脱口回答：“逆！”

当年老师的苛刻要求，产生了持久的影响。从此，作者养成了思维习惯：对重要的概念，一定要理解到这样的程度--用一句话说清楚其内涵和外延。

后来，学习力学中的变分原理。作者突然发现，如果问：“什么是微分？”一句话能说清楚。如果问：“什么是变分？”一句话竟然说不清楚了。

2008年，作者曾被前辈追问：“怎样理解变分？”作者谨慎地“用一句话”答道：“对参变量的导数。”虽然用了“一句话”，但似乎并没有“说清楚”。实际上，这个说法，对数学学者尚可接受，但对力学学者仍显费解。

如果继续追问：“什么东西对参变量的导数？”作者能给出的答案是“泛函对参变量的导数”。这个答案当然不算错，但有局限性。

2 从历史的天空看经典变分概念的整体性

历史地看，变分似乎是个整体性概念。

整体和局部及其相互关系，是哲学家关注的问题，也是自然科学家感兴趣的问题。

早年学习弹性力学，作者深受如下陈述的影响：弹性力学的基本问题有两种提法，一是微分提法，二是变分提法。后来，作者自己成了教师和学者，对两种提法有了更深刻的理解：微分提法体现了牛顿和莱布尼兹的局部化数理分析思想，而变分提法则体现了欧拉和拉格朗日的整体化数理分析思想。

由此，作者树立起了牢固的观念：微分是局部性概念，变分是整体性概念；

微分被定义在一个点的邻域内，变分被定义在物质构型空间上；微分提法对应局部化数理分析之路，变分提法对应整体化数理分析之路。

从力学的角度看，上述观念似乎经得起时间考验。场函数的微分，涉及空间域上“点的邻域”内场函数的增量。“点的邻域”当然是局部性概念。弹性力学中的运动微分方程，建立在微单元体上。微单元体是“点的邻域”的几何化形态，自然是局部性概念。

泛函的变分，是定义在物质构型空间上的泛函的增量。弹性力学有最小势能原理和最小余能原理。两个原理分别涉及势能泛函的变分和余能泛函的变分。势能泛函和余能泛函都表现为物质构型空间上的积分。物质构型空间是整体性的概念，泛函自然也是整体性概念。

分析力学有最小作用量原理。克莱恩在他的名著《古今数学思想》中指出：“变分学的早期工作几乎不能和微积分区分开来。但是，随着变分法的深化，牛顿之后的伟大先驱们很快意识到：一个全新的、具有自己的特征问题和方法论的数学分支已经产生了。”“这个新学科，对于数学和科学来说，其重要性几乎可以和微分方程相比，它为整个数学物理提供了一个最重要的原理。”这个“最重要的原理”，即最小作用量原理。

作用量一般表现为时间段上的积分。当说“作用量的变分”时，研究的是定义在时间段上的作用量的增量。时间段是整体性的概念，作用量当然也是整体性的概念。

很显然，先驱们思考变分学的角度，着眼于整体。其中的核心概念，是泛函的变分或作用量的变分。

然而，这产生了误导，使得作者产生了如下误解：由于变分的作用对象都是整体性概念，故变分就是个整体性概念。教学过程中，作者有意无意地将这样的观念传递给了学生。

近年来，随着研究的深入，作者意识到，上述观念限定了教师和学生的想象力。实际上，如果研究对象不是泛函或作用量，而是张量场函数，那么，着眼点就不应该是整体，而应该是局部。

3 张量变分的局部性与概念体系对称性的破缺

2002年，作者研究生物膜力学时，强烈地意识到，需要清晰地引入一个概念--曲率张量的变分。

生物膜是软物质，可以将其抽象成柔性曲面。不难想象，柔性曲面几何形状的任何涨落，都会诱导曲率张量的扰动。那么，怎样才能最有效地度量曲率张量的扰动量？

当时，作者借鉴弹性力学，用虚位移概念刻画柔性曲面的涨落。于是，很自然地，就把曲率张量的扰动量视为“曲率张量的变分”。

如何快速计算曲率张量的变分？作者意识到，不同于曲率张量的微分，“曲率张量的变分”没有现成的计算模式，故当时只能凭物理直觉“拼凑”出其计算式。

数学力学中的概念，一般都有两个表达式，一个是定义式，另一个是计算式。其中，定义式在先，计算式在后，计算式源自定义式。“曲率张量的变分”作为一个基本概念，既没有计算式，也没有定义式。因为没有定义式，当然也就无法“一句话说清楚”其内涵和外延。

“曲率张量的变分”，无定义，难计算。然而，“曲率张量的微分”，可定义，可计算。作者发现，类似的概念上的对称性破缺，不是孤立的现象，竟然普遍存在于张量分析中：有一般意义上的“张量微分”概念，但没有一般意义上的“张量变分”概念。

作者还发现，概念上的对称性破缺带来的直接后果，是理论上的对称性破缺：张量微分学的大厦巍然挺立，但张量变分学的原野却一片荒漠。这并不奇怪：基本概念是理论的基石。张量微分学的大厦奠定在张量微分概念的基础之上。相反地，缺少了基础性的张量变分概念，张量变分学的大厦就无从谈起。

追根溯源，可以发现，对称性破缺的根本原因，源自局部性概念与整体性概念之间的错配：张量场函数可以是局部性概念，微分是局部性概念。这样，“张量场函数/微分”就是两个局部性概念的组合，浑然天成。然而，经典的变分“被认为”是整体性概念，“张量场函数/变分”，是局部性概念与整体性概念的叠加，难以匹配。

作者想起智者的忠告：纷繁之处，可尝试分类；混淆之处，可尝试定义。显然，要纠正概念组合的错配，最便捷的方法是塑造出一个局部性概念--张量场函数的“局部变分”。这样，就相当于对笼统的变分概念进行了更精细的分类--整体性变分和局部性变分。当然，局部变分概念难以借助经验提炼出来，只能借助理性塑造出来。

4 张量场函数的虚物质导数——局部变分概念的逻辑基础

如何塑造张量场函数的局部变分概念？作者的作法是“先为局部变分概念寻找一个逻辑基础”。2016年，找到了突破口：作者从“虚”字上获得了灵感。

力学史上，从“实”到“虚”的观念进化，对应着重要的思想飞跃。分析力学和弹性力学，都涉及一个十分基本的概念--虚位移。弹性力学中虚位移的定义很简洁：就是运动许可位移。满足运动许可的虚位移有无穷多，构成无穷集合。而真实位移只是虚位移的特例，只是无穷集合中的特殊元素。

分析力学中，“虚”字照样引人注目。分析力学的理论体系，可以被奠定在不同的基本原理基础之上：拉格朗日方程，被奠定在达朗贝尔原理的基础之上；吉布斯阿佩尔方程和凯恩方程，被奠定在高斯原理的基础之上。从达朗贝尔原理到拉格朗日方程，虚位移概念发挥了重要作用。同样，从高斯原理到吉布斯阿佩尔方程和凯恩方程，虚加速度概念不可或缺。

在速度和加速度之间，还有一个运动学量--虚速度。虚速度，就是运动许可速度。历史上，虚速度概念并没有逃过先驱们锐利的眼睛。分析力学中，除了达朗贝尔原理和高斯原理，还有约旦原理。虚速度是约旦原理中决定性的概念。

注意到，位移，速度，加速度，不论“虚实”，都是定义在物质点上的概念。论及“物质点”，连续介质力学的一个概念进入了作者的视线--物质导数。

需要说明的是，几何论中，确有“对参变量的导数”概念。如果“参变量”被取为时间变量，且“对参变量的导数”被定义在运动的物质点上，即可得到物质导数[1-2]。

在作者的印象里，物质导数是“实”的概念，用以刻画物体“真实”的运动。后来，作者意识到，这只是先入为主的自我设限。实际上，没有任何理由认为，也没有任何权力规定，物质导数必须是“实”的。正如虚位移、虚速度和虚加速度，完全可以自由地引入“虚”物质导数概念。正如虚位移是运动许可位移，虚物质导数即为运动许可物质导数。

虚物质导数，可以视为实物质导数的推广。反过来，实物质导数，可以视为虚物质导数的特例。

从虚物质导数概念出发，就可以定义局部变分概念。也就是说，虚物质导数，可以被选定为局部变分概念的逻辑基础。

一旦涉及到物质导数，就得关注物质占据的空间及其运动的描述方式。

5 物质空间及其运动描述方式

为了简化形式，采用平坦空间。至于运动的描述方式，最基本的有欧拉描述和拉格朗日描述[1]。本文采用拉格朗日描述，是为了简化理论的解析结构。简化到极致，读者便可轻松地理解本质和思想。

平坦空间拉格朗日描述下，张量场函数T具有如下函数形态

T既是拉格朗日坐标xm的函数，也是时间参变量t的显态函数。这里的时间t，是一般参变量的特殊情形。从数学的角度看，xm和t都是自变量，地位完全平等，没有本质的差异。然而，如果从力学的角度看，xm被赋予了几何意义和物理意义，t则被赋予了物理意义。此时，xm是自变量，t是参数。物理学和力学中，被xm刻画的连续函数，大都是“场”函数。

嵌入在连续体上的拉格朗日坐标xm的集合构成了一个实数域，称之为拉格朗日空间域。连续体的运动发生在某个时间段内。这个时间段也构成一个实数域，称之为拉格朗日时间域。张量场函数T(xm，t)在空间域上的变化，引出经典微分，在时间域上的变化，引出局部变分。

拉格朗日描述下，时间t与坐标xm居于同等地位。时间域与空间域也居于同等地位。时间t的引入，可以从运动的角度看变分概念的本质。

注意到，作用量中包含了时间，故似乎是动态概念。而连续介质力学中的势能泛函和余能泛函，似乎都是静态的概念。也就是说，能量泛函中没有引入时间。当然，“没有引入时间”，不等于“没有时间概念”。能量泛函的增量(或变化)是物体运动的结果，而运动总发生在某个时间段内。因此，能量泛函中本来就有时间。实际上，理解了本文之后，读者就会意识到：一旦允许时间自变量出现在能量泛函中，能量原理就会容易理解得多。

为便于读者理解，下面采用比较分析法，同时展示张量场函数在空间域上的经典微分和时间域上的局部变分。

6 张量场函数在空间域上的经典微分

研究拉格朗日空间域中的微分，只需保持拉格朗日时间参变量t不变。固定时间参变量t，相当于令时间“凝固”或“冻结”。此时，看到的是t时刻静态的物质空间。令拉格朗日坐标xm产生一个增量Δxm，进而求张量场函数T的增量ΔT

由于拉格朗日坐标xm对应于物质点，因此，式(2)的含义是物质点(xm+Δxm)的张量值与物质点xm的张量值之差。

大战在即，豆腐坊的生意却比往日更繁忙。假如不是四周枪炮林立，不是当街口一堆堆叠得小山似的沙包，还有沙包后伸出来的轻重机枪，光看豆腐坊的生意还真和平日里没啥两样：几大口铁锅一溜排开，火头正旺，入了锅的豆腐水滋滋冒着泡；几个伙计光着膀子，系着围裙，正抬着一大桶豆腐水往木格子里倒，只消一会，点了卤的豆腐就结得硬硬邦邦。

固定时刻t，在xm的邻域内，将T(xm+Δxm，t)展开为泰勒级数

这里的泰勒级数，是场函数T(xm+Δxm，t)在拉格朗日空间域上的展开形式。于是式(2)重写为

由式(4)右端的一阶项，就可以定义出拉格朗日空间域上张量的微分dT

式(5)可以推广到任意场函数。

经典偏导数∂T/∂xm和经典微分dT，是张量微分学的基础性概念。这两个概念定义之后，张量微分学的理论体系，就大体上确定了。

7 张量场函数在时间域上的局部变分

研究拉格朗日时间域中的变分，只需保持拉格朗日坐标xm不变，令拉格朗日时间t产生一个增量Δt，进而求张量场函数的增量ΔT

在t的邻域内，将场函数T(xm，t+Δt)展开为泰勒级数

这里的泰勒级数，是场函数T(xm，t+Δt)在拉格朗日时间域上的展开形式。展开过程中，保持拉格朗日坐标xm不变，亦即紧盯运动的物质点不变。根据拉格朗日描述下物质导数的定义，式(7)可重写为

式(8)代入式(6)，可写出

由式(9)右端的一阶项，可以定义出拉格朗日时间域上张量场函数的微分dtT

确切地说，dtT是张量场函数T对时间t的微分。由于dtT是定义在物质点xm上的随体概念，因此是“物质微分”。式(10)显示，物质微分dtT是与物质导数dtT/dt对应的概念，二者之间成正比例关系，比例系数为dt。

如果dtT/dt是虚物质导数，则dtT就是虚物质微分。此时就将dtT称为“张量场函数T的局部变分”。

式(10)中的定义可推广到任意场函数。也就是说，任意场函数的局部变分，都可以通过其虚物质导数来定义。

虚物质导数dtT/dt和局部变分dtT，是张量变分学的基础性概念。这两个概念定义之后，张量变分学的理论体系，就大体上确定了。

8 张量场函数的经典微分与局部变分之间的对称性

式(5)包含了两个基本概念：拉格朗日空间域上，张量场函数T的偏导数∂T/∂xm和微分dT。式(10)也包含了两个基本概念：拉格朗日时间域上，张量场函数T的虚物质导数dtT/dt和局部变分dtT。

空间域xm与时间域t是对应的。空间域与时间域上成对儿的基本概念，存在“一一对应”的对称性

上述对称性，既包含表观形式的对称，也包含解析结构的对称。画出如下对称示意图

注意到概念“名称”的对称性：dT是微分，dtT是变分。继续类比，∂T/∂xm是微商，即微分之商；dtT/dt是变商，即变分之商。

至此，“张量的经典微分～张量的局部变分”之间的对称性，就被建立起来了。这两个概念极具基础性。基于这两个基础性的概念，可以发展出来更多的概念、思想和理论。于是，一个有趣的问题值得追问：两个基础性概念之间对称性“基因”，能否稳定地被“遗传”下去？或者说，后继的概念、思想和理论，能否葆有对称性？答案是肯定的。

如上所述，基于偏导数∂T/∂xm和微分dT，可以发展张量场函数的微分学；基于虚物质导数dtT/dt和局部变分dtT，可以发展张量场函数的变分学。可以预料，张量变分学与张量微分学，也是对称的，即

可以肯定，对于张量微分学中的表达式，张量变分学中都存在与之对称的表达式。

9 拉格朗日基矢量的经典微分和局部变分之间的对称性

任何成熟的理论都必须具有可计算性。从哪个角度审视张量变分学的可计算性？为便于参照，仍然从对称的角度看问题。回顾一下张量微分学，可知有如下命题：基矢量微分的可计算性，是张量微分学可计算性的基础。拉格朗日协变基矢量gi和逆变基矢量gi的函数形态为

张量微分学中，有著名的克里斯托弗尔公式[1-2]

空间域上，克里斯托弗尔公式刻画了拉格朗日基矢量的空间变化率。基矢量的空间导数，仍然是基矢量的组合，组合系数是Γkim。克里斯托弗尔公式是张量微分学的重要基础之一。Γkim被称为克里斯托弗尔符号。克里斯托弗尔符号的定义，是克里斯托弗尔对张量微分学的伟大贡献。

基于式(14)，可导出基矢量的经典微分

基矢量的空间微分dgi，仍然是基矢量gk的组合，组合系数是

可以从历史中获得借鉴：基矢量局部变分的可计算性，是张量变分学可计算性的基础。时间域上，拉格朗日基矢量的物质导数为[1]

式中，vi是速度场矢量v=vigi的拉格朗日逆变分量。式(16)是张量分析学中的经典结果。基矢量的物质导数，仍然是基矢量的组合，组合系数是速度分量vk的协变导数(或速度梯度∇v的分量)∇ivk。

如果速度场v是“虚”的，则式(16)给出了基矢量的虚物质导数。显然，拉格朗日基矢量的虚物质导数，取决于虚速度场的梯度∇v。

式(16)与式(14)显示出对称性。与式(14)在张量微分学中的基础性地位类似，式(16)是张量变分学的重要基础。基于式(16)，可导出基矢量的局部变分

基矢量的局部变分dtgi，仍然是基矢量gk的组合，组合系数是(∇ivk)dt。

一旦确定了虚速度梯度分量∇ivk，则张量变分学中的任何计算，都可顺利地给出确定的“值”。

从式(16)和式(17)中可获得启示：如果看到的是实速度场，那么，式(16)就给出了基矢量的实物质导数，式(17)就给出了基矢量的“实”时间微分。如果看到的是虚速度场，那么，式(16)就给出了基矢量的虚物质导数，式(17)就给出了基矢量的“虚”时间微分(或虚物质微分)，亦即局部变分。总之，只要速度场有虚实之分，基矢量的物质导数就有虚实之分，基矢量的时间微分就有虚实之分。而虚的时间微分，就是局部变分。

式(17)与式(15)之间的对称性，清晰可见。

限于论文的篇幅，这里不再继续展示张量变分学与张量微分学的对称性。如果读者有兴趣，可以自己尝试一下：比照张量微分学的大厦，一定可以构筑出张量变分学的大厦，且两座大厦遥相呼应，构成优雅对称的建筑群。

10 张量概念中的协变性思想及其推广

对称性的遗传进程连绵不断，当然也可以持续追问：对称的张量微分学和张量变分学之后，是否还能塑造出更宏大的对称建筑群？

答案是肯定的。但要塑造出新的对称建筑群，必须先引入一块厚重的基石--协变性思想。理由如下。

标题中，出现了张量一词。实际上，即使没有张量这个词，本文照样言之成理。之所以画蛇添足地加上这个词，是为后续建筑群的对称化做铺垫。

数学力学的历史上，张量概念的诞生是件大事。不同于经典力学概念，张量概念中蕴涵了一个既漂亮又深刻的思想--协变性思想。

1935年，法国诞生了著名的布尔巴基学派。该学派提出了重要的思想观念--数学结构。在诸种类型的数学结构中，最基本的是代数结构。张量就是普遍存在于物理学和力学中的代数结构。

作为代数结构，张量有内部子结构，例如，分量和基矢量。子结构满足特定的协调约束性质，即“协变性”，具体表现为两大基本变换：一是指标升降变换，二是坐标变换。作者将二者合称为里奇变换[3-4]。

确切地说，协变性就是张量在里奇变换下的不变性。正是协变性，保证了张量的坐标无关性。从这个意义上讲，在物理学和力学中，协变性近乎于客观性。因此说，协变性思想，不仅漂亮，而且深刻。

从张量代数学到张量微分学的演进，是数学物理和数学力学史上的大事。但这件大事总被一种不大圆满的氛围所笼罩--张量微分的协变性退化了。丧失了协变性的张量微分，对物理学和力学不吝一场灾难。

危难时刻，意大利的里奇学派尽显英雄本色：他们巧妙地引入了漂亮的新概念--张量的协变微分，从而一举将不协变的微分学，“美化”成了协变的微分学。

然而，随着协变微分概念的诞生，概念上新的对称性破缺出现了。随着协变微分学的出世，理论上新的对称性破缺出现了。

本文刻画了这样的历史轨迹：先驱们定义了张量微分，造成了概念上的对称性破缺。而随着张量变分的定义，概念上的对称性破缺得以弥补。先驱们发展了张量微分学，造成了理论上的对称性破缺。而随着张量变分学的建立，理论上的对称性破缺得以修复。

现在，新的对称性破缺引出了新的问题：还能重复上述对称化历史的轨迹吗？答案是肯定的。对称的建筑群将被持续延拓，规模更大、更为壮丽的对称建筑群将拔地而起。如果读者想一睹其真容，那就请阅读后续文章吧。

11 说不尽的对称

结束本文时，再关注一下对称性。对称是自然科学永恒的主题。历史上，很多伟大学者都涉及过这个主题，例如，赫尔曼·外尔的《对称》。当然，作者最喜欢前辈力学家武际可先生的对称性思想。他的文集《动脑筋·说力学》[5-6]中，有两篇文章涉及对称，一是“谈谈对称”，二是“从太极图说起--再谈对称”。两篇文章深入浅出，娓娓道来对称思想之精髓，令人大开眼界，受益无穷。

读者一定会问：“为什么对称观念如此令人着迷？”德国数学家诺特有著名的命题：任何对称性，都对应着某种形式的守恒律。物理学和力学的历史已经确证了命题的正确性：物理学和力学的每一条规律，都受到某种对称性的支配；任何新对称性的发现，都意味着新规律的诞生；任何对称性破缺的出现，都意味着新理论的曙光。诺特的命题极大地消减了探索的盲目性--只要捕捉到对称性，就可以顺藤摸瓜地找到守恒律。本来，追寻守恒律，是物理学和力学探索者永恒的使命。诺特命题之后，追寻对称性，成为物理学和力学探索者达成使命的捷径。

这也正是作者在本文中的动机之所在：苦心孤诣地塑造经典微分与局部变分之间的对称性。

12 结论

结束本文时，作者抛出一个疑问：虚物质导数是不可或缺的概念吗？实际上，早在2016年，作者就直接从实物质导数出发，引出了局部变分概念。当时，没有感到有何不妥之处。从前几年的探索看，似乎有实物质导数概念就足够了。这样看来，虚物质导数概念似乎有些多余。引入虚物质导数，似乎违反了“奥卡姆剃刀”原则：如非必须，勿加实体。

后来，作者否定了“多余”的判断。作者并不是想通了，而是类比之余，坚定了信念：已经有实位移，但从没有认为，虚位移概念是多余的。已经有实速度，但从没有认为，虚速度概念是多余的。已经有实加速度，但从没有认为，虚加速度概念是多余的。

换个角度看：如果说，张量的局部变分是个不可或缺的概念，那么虚物质导数，就是个必不可少的概念。虚物质导数和局部变分概念的威力，会在后续的文章中，充分地展现出来。

本文只涉及了拉格朗日描述。欧拉描述，照样可以揭示出对称的张量微分学和张量变分学。换言之，张量微分学与张量变分学之间的对称性，是一种客观实在，与运动的描述方式无关。不论采用何种运动描述方式，对称性都存在。但限于篇幅，本文不再涉及欧拉描述。

在传统观念中，张量分析学主要是指张量微分学。现在，可以更新观念：张量分析学包括了两个对称的理论体系：一个是张量微分学，另一个是张量变分学。

本文讲述了一个对称性故事，后续文章将讲述对称性故事的续集。