董慧 左志 徐澍泽 王莹 安徽工业经济职业技术学院

一、问题提出

2020年全国大学生数学建模竞赛D题探讨了轮廓仪的轮廓线及其各项参数值的问题，具体要求见全国大学生数学建模竞赛官网。本文探讨了工件在水平状态下的轮廓线各项参数值，以及在倾斜一个角度和有一些水平位移下计算工件的倾斜角度、并作水平校正的问题。

二、问题分析

（一）问题1分析

工件1是在水平状态下测量的，通过构建平面直角坐标系，可将轮廓线的各参数值问题转化为平面几何问题。利用MATLAB软件拟合出轮廓线各水平线段、斜线线段方程，结合平面几何中距离、弧长、半径等的计算方法可求得。

（二）问题2分析

要求工件1的倾斜角度需先确定其倾斜的位置。工件在空间中倾斜可分解为绕x、y、z轴旋转。通过比较特殊状态在水平、倾斜状态下的前后变化，可确定工件1未绕z轴旋转。然后依次确定各旋转角度。仅绕y轴旋转时，旋转角度为工件与水平面的夹角。仅绕x轴旋转时，通过轮廓线特殊部分旋转前后的变化关系构建四棱锥，将旋转角度转为四棱锥两个面间的夹角问题即可求出。水平校正时，只需进行上述过程的逆操作，依次构建水平、垂直方向校正的变换公式即可。

三、模型假设

1.假设每次测量时夹具对工件的夹紧程度一致，不会造成工件变形。

2.假设测量过程中不会出现中途更换探针的情况。

四、模型建立与求解

（一）问题1的建模与求解

1.数据预处理

轮廓线有水平线段、斜线、圆弧三种类型，根据此特点将轮廓线划分为24段。

2.构建轮廓线各段的函数关系式

（1）水平线段方程

（2）斜线线段方程

以第2段轮廓线为例，通过MATLAB拟合出斜线线段方程为L1：倾斜角为

3.问题1求解

为方便，记所给的槽口宽度、水平线段长度为Xi，人字形线的高度为Z1。记点

（1）槽口宽度：X1=x4-x1=2.9910，X3=x8-x5=2.2785。

（2）水平线段长度：X2=x5-x4=4.8890，X4=x9-x8=4.7750。

（5）人字形线的高度：Z1=z14-z13=0.9829。

（6）斜线与水平线之间的夹角：

（7）圆弧的半径、弧长。如第1段圆弧，

图1

同样的方法计算出所有的参数值。

（二）问题2的建模与求解

假设垂直xoz平面的坐标轴为y轴。工件不可能突然发生沿y轴方向的水平位移，否则图像会断开。此外，起点x值变化较小，说明工件沿x轴水平位移影响较小。因而仅考虑倾斜一个角度的变化。

1.倾斜角度的求解

工件1在空间中倾斜，可分解为绕x、y、z轴旋转。比较附件1的数据发现，左端点z值变大，左右端点z的差值变大，工件绕y轴旋转了。水平状态下，工件的长度倾斜后，视为相等，故工件未发生水平扭转。经对比，轮廓线第17段，两条斜线的夹角变大，则工件绕x轴顺时针旋转。因而，工件仅绕x、y轴旋转。假设工件旋转都是按工件中心线绕x、y轴旋转。

（1）绕y轴旋转

当图像仅绕y轴旋转时，记旋转角度为α。通过拟合构建出直线 的方程为y=-0.00007x+1.4053，则旋转角α=arctan0.00007。

（2）绕x轴旋转

考虑轮廓线第17段，通过此段旋转前后各段的关系构建出四棱锥（图2），其中为A、B旋转后的点，通过平移，顶点重合于点P，旋转角度即为面

结合旋转特点可知道，|PA|=|PB|，|PA'|=|PB'|，|AB|=|A'B'|，AB∥A'B'，连接AB、A'B'的中点M、M'，得为两平面的夹角。

图2

2.校正模型

工件绕x、y轴旋转，校正时，只需要进行此过程的逆操作即可。

首先进行水平校正。此过程相当于将工件1中的每个点绕y轴逆时针方向转动倾斜角度α。设一个点的坐标为水平校正后对应点为构建水平变换模型为

然后进行垂直方向校正。变换公式为