广东省珠海市紫荆中学(519000) 曾飞鹏

思维导图特有的简洁、思维可视化特征,吸引了众多数学教师在教学中加以应用.但是在应用过程中,不少教师将思维导图简单地等同于知识框图,仅限于将思维导图应用于对知识加以梳理,而没有充分发挥思维导图的作用.实际上,思维导图这个名词的关键词在“思维”两字.它不仅可以帮助梳理知识,还可以通过图式模拟人的思维过程,从而使无形的思维过程形象化,达到加强人的思维能力的目的.所以在日常数学教学中,我们要用好思维导图,必须先清楚地认识到思维导图能在哪些地方用,为什么要用,怎么用等问题.本文依据布鲁姆教育目标分类学,尝试将数学思维导图分类,并以举例的方式说明各类思维导图的应用.布鲁姆将教育目标从认知维度分为记忆、理解、运用、分析、评价和创造六个方面[1].相应地用以达到记忆和理解目标的思维导图我们归结为“记忆理解型思维导图”;用以达到运用和分析目标的思维导图我们称为“运用分析型思维导图”;通过思维导图捕捉和表达发散性思维,从而达到评价和创造目的的思维导图称为“评价创造型思维导图”.

1 记忆理解型思维导图

一场“新冠”肺炎颠覆了传统的教育教学的模式,信息化的、以学生为中心的、开放式的教学模式正在形成.面对多元的教学媒体、教学资源,学生不仅要掌握知识和技能,还要学会有条理地管理好自己的知识.相应的,教师需要改变传统的以知识传授为主教学观念,要变“授人以鱼”为“授人以渔”,日常教学中,要有意识地教学生掌握知识的方法与技巧.学生可能在微课、导学案、课堂等多种渠道获得大量的信息:概念、解题模型、解题方法、重难点的理解等.如果不对这些知识技能加以整理和反思,将会理解不透、混乱且快速遗忘.记忆理解型思维导图独有的特性能为解决这类问题提供可能.主要体现在以下两个方面:

1.1 绘制的过程加深记忆与理解

学生在绘制记忆理解型思维导图时,首先要从记忆中提取相关知识,在经过手脑并用的过程中,记忆被强化.其次,思维导图以图示的方式,以一个中心词发散,各个分支以简短的词语或图形加以表述,每个分支并不是照抄概念或题型原文,而是尽最大努力使语言精简,这就要求学生用与原文不一样的方式描述,需要将信息从一种形式转变为其他形式.如基本概念可以用数学语言、图、分类、比较或通过举一些例子来加以描述.在此过程,学生对概念的构建或解题方法技能的理解将达到新的高度.再次,思维导图的绘制并不是一蹴而就的,一张丰富的思维导图往往会经历以下几个阶段:在课前自主学习阶段,将零散的杂乱的知识点、方法用思维导图整理出来;在课中通过进一步学习,对相应的内容有了进一步的认识后,对课前所做思维导图作适时补充或者修改;在课后,通过小组研究进一步完善思维导图.在小组研究的过程中,学生要思考、表达甚至或者教授给其它同学,按照美国缅因州国家训练实验室提出的学习金字塔理论,这种主动学习的知识留存率高、理解透彻.

1.2 导图的结构加强记忆与理解

传统的笔记呈线性排列,而人的思维是多面的、发散性的.思维导图模拟人的思维过程,本质上,思维导图是在重复和模仿发散性思维,这反过来又放大了大脑的本能,让大脑更加有力[2].学生绘制思维导图的过程,即是一个将大脑的思维过程形象化的过程.通过绘制思维导图,既加强了大脑的思维能力,又将知识的脉络梳理清楚,从而加深对知识技能的记忆与理解.其次,记忆理解型思维导图可以作为一项必不可少的作业,呈现在作业本或笔记本的回忆栏中,其独特的图形结构,丰富的表现形式,构成对感官特有的吸引力,有助于复习阶段的知识再现.

图1 二次根式的概念

图1是学生在学习完二次根式第一课时后所做的记忆理解思维导图,对于定义的要点既有用不同于二次根式定义本身的语言来解释,又有举例子的方法从反面来说明.对于解题模型的总结既有明确的分类,又有简洁明了的题型特征描述及方法总结.课后作出这样一张思维导图,有助于提高知识留存率,跳出题海,升华知识技能.

2 运用分析型思维导图

在解决综合题,特别是几何综合题时,有些学生往往在老师讲解时能听懂,但遇到新的问题却找不到思路.出现这种情况的根本原因是没有形成良好的分析问题和解决问题的习惯.遇到综合问题,首先要研究目标,依据解题经验判断:解决该类问题有哪些可行的途径或基本模型?再根据题目条件选择恰当的解题策略,这即为认知维度的应用与分析.而在应用与分析的过程中,最困难的莫过于在条件与目标之间寻找恰当的通路.为了使这条通路更显性化,我们可以借助思维导图来助力分析问题和解决问题.绘制运用分析型思维导图大致有如下几个关键步骤:

2.1 基于目标的程序提取

所谓程序,在数学解题中指的是解题的方法或模型.如:几何中求最值问题,常见的解题方法即几何最值法、函数最值法.而在几何最值法中常见的模型有两定点型(利用“两点之间,线段最短”解决)、一定点定线型(利用“垂线段最短”解决)、运动轨迹分析性(通过几何直观解决),函数最值法也可能建立各种不同的函数模型.在这一步骤的思维导图作用在于为条件整合建立可视的方向,避免分析条件的盲目性与无序性,为解决综合问题打下基础.

2.2 基于条件的整合运用

面对目标解决的诸多方法与模型,解题者需要面临如何选择方法与模型的问题.首先,要区别哪些条件与相应的方法或模型是相关的.然后,将相关的条件组织起来,以达到能利用上述模型或方法求解的目的.这一步骤是解题的关键步骤,思维导图也在此起到了“导”思维的作用.

以一个等积式的证明为例:在ΔABC中,AD为顶角A的角平分线交底边于D,求证:BD·AC=AB·CD.

3 评价创造型思维导图

本题的解题思维导图如图2,基于目标“BD·AC=AB·CD”,依据解题经验,我们有相似法与面积法两种基本解题方法.而如何构造相似,及如何运用面积法?这就需要基于条件“AD为顶角A的角平分线”加以发散.目标与条件的发散是杂乱的,它们之间的联系是无形的,而思维导图起到了有效梳理这两者的发散,及将两者之间的连系显性化的作用,使得解题思路明晰,方法多样.

图2 等积式的证明

波利亚指出“拿一个有意义而又不复杂的题目去帮助学生发掘问题的各个方面,使得通过这道题目就好像通过一道门户,把学生引入一个完整的领域.”我们常要求学生做一题会一片,但我们很少有人教学生怎样才能达到这种效果.所谓做一题会一片,实际上就是要求用最少的例题或习题,通过一定的程式,去发掘该问题的方方面面.从数学思维的维度来看,通过发散思维,创造性地挖掘题目的内涵外延,属于高阶思维范畴.以几何问题为例,在教学过程中,教师可引导学生按照如图3所示的思维导图对问题加以剖析.

按照这个模式,我们从教材一道习题出发,运用思维导图引导学生通过自主探索或合作交流,通过层层深入探究,逐步揭示本质、从不同角度纵横沟通,发散问题,将问题合理演化、适度拓展,在此过程中培养学生思维的灵活性、广阔性和创造性.

图3 几何问题的发散模式

图4 习题

例:(人教版习题24.2第14题改编)如图4,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为D,求证:AC平分∠DAB.(AD交⊙O于点E,直线DC与直线AB交与点P)

如图5,在本题研讨过程中,对原命题的条件结论位置互换,得到两组命题“CD为切线,AC平分∠DAB→AD⊥CD”,“AD⊥CD,AC平分∠DAB→CD为切线”再对其加以验证,通过观察、测量、猜想得到形如“弧EC=弧BC”等一系列结论,并运用不同的方法加以证明.这个过程即为数学发现的重要途径.而在对图形加以变形的过程中又培养了学生的求异思维,在将题型由证明变为计算后,既可以积累解题经验,站在命题人的角度思考问题,又可以利用已得的结论优化解题过程.另外,利用思维导图去创造发掘是可持续的,在教学过程中,还可以继续补充完善形如图5的思维导图.

图5 几何习题发散示例

总而言之,对数学教学中的思维导图加以分类研究及应用,有助于我们在教学过程中目标明确,运用得法.比如教师运用记忆理解型思维导图最好放在复习课,特别是毕业年级的总复习阶段,为了防止出现教师照本(复习资料)宣科,学生昏昏欲睡的课堂场景,不妨通过PPT制作思维导图,详略得当地梳理知识点及解题方法.学生运用记忆理解型思维导图最好是放在课后作业的最后一环节,这样做的目的是既起到重现知识的作用,又可以及时总结解题经验和解题方法.而运用分析型思维导图主要用于解题教学之前的解题分析,这类思维导图最为关键的作用在于将目标与条件的发散显性化并建立线性联系,对于帮助学生打通思路,训练学生一题多解习惯与能力有不可替代的作用.评价创造型思维导图既可以帮助教师发掘经典问题,为命题提供素材,又可以增强教与学的趣味性,还可以培养学生一题多变的习惯,达到能举一反三的能力.