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把握课堂“意外”,提高思维层次

2021-01-06浙江省杭州第十四中学310006楼思远

中学数学研究(广东) 2020年20期
关键词:切点意外切线

浙江省杭州第十四中学(310006) 楼思远 周 艳

近日,笔者在课堂上讲解一道关于二次曲线的切线问题时,学生提出了异议,在加以简单的几何解释后学生仍有疑问,于是师生约定:各自思考后,第二天课堂展示成果,分享思路与比较哪种方法更优.根据学生展示的不同方法,师生一起通过讨论分析将其整合与归类.接着,笔者又依次给出几道不同梯度的相关问题让学生完成,最终取得了较好的教学效果,过程如下:

1 突发“意外”,顺水推舟

课堂教学片段:

题目:已知抛物线C1:y=x2+2x和C2:y=-x2+a,若直线l同时是C1和C2的切线,则称l是C1和C2的公切线,问:当a取什么值时,C1和C2有且仅有一条公切线?试写出公切线的方程.

图一

图二

图三

师:显然,由题可知图象应该如此(黑板上画出图一),从而列出方程解得答案.

生1:老师我认为图象往下移一点(图二)也只有一条切线l1.

师:(略微一愣,微笑的画出了另一条切线l2),从图象可以看出这种情况有两条切线.

生2:那如果向上移动呢,是不是也是两条?

师:(在黑板上作出图三)因为开口大小的关系,从图象可以看出这种情况没有切线.

生2:可是根据图二的画法,图三的图象左右两侧也该有两条切线才对啊?(台下有附和声).

笔者一时也想不出更好的办法来解释,这个“意外”让课堂陷入了沉寂,笔者随即灵机一动,表示要与学生比比谁更快的找到解决方案,有想法的可以在明天为大家展示,学生的热情一下被激发出来,个个跃跃欲试……

2 趁热打铁,揭示本质

第二天的课堂上,笔者先让学生踊跃发言,在归纳整理后于黑板上写下三种具有代表性的解题思路,具体如下:

法一图

法二图

法三图

法一(多点开花,两面夹击)

设切点为P(x1,y1),Q(x2,y2),记f(x)=x2+2x,g(x)=-x2+a,则f′(x)=2x+2,g′(x)=-2x,根据P点坐标求得lPQ:y=(2x1+2)x-x21;根据Q点坐标求得:lPQ:y=-2x2x+(a+x22),因为是同一条公切线,对比系数知:

(1)(2)⇒+2x1+(a+1)=0,将x1看成主元,得Δ=-4-8a,下面分类讨论之:当Δ>0,即时,x1有两实数解,分别对应不同的x2,故有两条切线,即图二的情况;当Δ=0,即时,一条切线,即图一的情况;当Δ<0,即时,没有切线,即图三的情况.

法二(二次判别,一招制胜):

设f(x)=x2+2x上的一个切点为P(x1,y1),则过P的直线方程为:lp:y=(2x1+2)x-x21,联立方程组得:x2+(2x1+2)x-(x21+a)=0.

要使lp与y=-x2+a相切,应满足判别式Δ1=0,即再将其看成关于x1的二次方程,则x1的解的个数对应切线的条数,解得Δ2=-4-8a,以下同法一.

法三(化繁为简,稳中求进):

设切点分别为P(x1,y1),Q(x2,y2),直线方程为l:y=kx+m,由两切点皆在直线l上得,相减得:

同理,由两点在各自曲线上得:

由两点处切线斜率相等得:

笔者与学生一起对三种方法进行分析与比较后总结如下:

(1)法一计算量不大,思路较为巧妙,从中可归纳出解决公切线问题的关键:根据两条曲线在切点处的导数分别表示出该公切线,利用对应系数相等找到等量关系,再具体求解;

(2)法二将问题转化为了熟悉的二次函数图象问题,学生比较容易上手,但是运用两次判别式对思维层次要求较高,若将抛物线换为椭圆或双曲线,那么判别式的计算就比较繁琐,因此该法有一定局限性;

(3)法三则是典型的的解析几何的方法,在具体的解答过程中,变量较多,消元的过程需要预判与耐心,许多学生会半途而废.

在解开了课堂疑惑后,学生们的热情仍然高涨,笔者认为应该趁热打铁继续加深学生对该类问题的认识与理解,便给出了如下问题:

(2018年浙江学考22)若不等式2x2-(x-a)|x-a|-2≥0对于任意x∈ℝ恒成立,则实数a的最小值是____.

有了之前的铺垫,学生很快便给出了解法:

解:原不等式等价于2x2-2≥画出临界位置(右图),此时两个切点重合,设为P(x0,y0),由点P落在曲线y=2x2-2上知

由点P落在曲线y=-(x-a)2上知

因为切线为同一条直线,对比系数知:a=3x0,代回原曲线方程解得

(2013年华约自主招生5)已知点A在直线y=kx上,点B在直线y=-kx上,其中k>0,|OA|·|OB|=k2+1,且A,B在y轴同侧.

(1)求AB的中点M的轨迹C;

(2)若曲线C与抛物线x2=2py(p>0)相切,(a)求证:两切点分别过两定直线;(b)求过两切点的切线方程.

解:(1)C:

(2)设两个切点分别为P(x0,y0),Q(x1,y1),考虑P点的情况:由P在双曲线上得l切:x0x-=1,即

由P在抛物线上得l切:x0x=p(y0+y),即

因为两条切线为同一条直线,对比系数知:

解得y0=k,代回双曲线方程知因此切点P在定直线上,过点P的切线方程为Q点类似.

总结:上述两题皆是切点重合的情况,根据两条曲线在切点处的导数分别表示出该公切线,利用对应系数相等找到等量关系,即可顺利求解.

3 更进一步,提升层次

至此,学生们已经体会到了思维的乐趣与成功的喜悦,笔者不失时机的给出两个切点不重合的问题,希望能百尺竿头,更进一步:

(2019年浙江学考24)如图,不垂直于坐标轴的直线l与抛物线y2=2px(p>0)有且只有一个公共点M.

(1)当M的坐标为(2,2)时,求p的值及直线l的方程;

(2)若直线l与圆x2+y2=1相切于点N,求|MN|的最小值.

解:(1)略;(2)设N(x1,y1),M(x2,y2),根据切点N知lMN:x1x+y1y=1,即y=根据切点M知lMN:y2y=p(x+x2),即因为lMN表示同一条直线,根据对应系数相等得:

解得

将点M代入根据N点坐标求得的切线方程lMN:x1x+y1y=1中得x1x2+y1y2=1,解得

根据(3)(4)知:

解:设P(x1,y1),Q(x2,y2),只需证明:

由题知:

根据切点P知lPQ:即y=根据切点Q知lPQ:x2x=p(y2+y),即y=因为lPQ为同一条直线,根据对应系数相等得

解得

将点P(x1,y1)代入根据Q点坐标求得的切线方程lPQ:x2x=p(y2+y)中得:

根据(1)(4)(5)(6)知:

以第二题为例:在具体的解题过程中,大部分学生无法求出y1+y2的值.在笔者的启发下,利用“将切点P代入用切点Q表示的切线方程中”这一点才证得结论,师生在共同讨论后进一步完善了该类问题的方法模型:

(1)若是在两个切点重合,根据两条曲线在切点处的导数分别表示出该公切线,利用对应系数相等找到等量关系.

(2)若是两个切点不重合,一方面可根据两条曲线在各自切点处的导数分别表示出该公切线,利用对应系数相等找到等量关系,另一方面可利用“其中一个切点位于用另一个切点坐标表示的切线上”这一点来发掘隐含关系.

4 反思总结,螺旋上升

正是学生通过直观想象对图形结构提出了质疑,才引发了后面一系列有意义的讨论与思考.因此,教师在上课之前应充分考虑学生的思维视角,对可能出现的情况做各种预设,基于记忆与理解的时效性,对学生课堂提出的问题足够重视并及时给出明确的解答,这样才能让整个教学过程少点往复,多点效率.

维果斯基的“最近发展区理论”认为学生的发展有两种水平:一种是现有水平,即独立活动时所能达到的解决问题的水平;另一种是可能的发展水平,即通过教学指导之后能到达到的水平.两者之间的差异就是最近发展区.本次课堂教学不仅仅满足于解决学生提出的问题,更进一步,还着眼于学生的最近发展区,及时提供不同梯度的相关内容进行课堂讨论,从而调动他们的积极性.在整个过程中,学生通过对解题模式的正迁移,充分领略了解题策略的横向扩展与纵向伸延,进而在潜移默化中内化为数学解题经验.

最后,“直观想象”与“逻辑推理”这二者的辨证统一也在课堂得到体现:有时对图形的直观想象并不能精准的刻画出数学问题的本质,此时需从代数角度进行严格的逻辑推理来获得精确的证明,而在证得结论后,需再次回到图形的角度透析本质,加深理解.因此,“直观想象”与“逻辑推理”二者相得益彰,这与“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休”的思想是完全契合的.

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