刘合国，廖军

(湖北大学数学与统计学学院， 湖北 武汉 430062)

0 前言

《高等代数》是大学里最基础的课程之一，对于刚刚进入大学的新生而言，它包含了许多新内容、思想和方法，解题的技巧性也很强，这严重影响了一般新生学习这门课程的热情和努力．不可否认的是，《高等代数》里充满了令人眼花缭乱、令人叹为观止的解题方法，学生们或望而却步、自叹不如，或沉迷于此、沾沾自喜．其实，《高等代数》里包含了许多基本概念，深入地理解概念，自觉地运用概念进行思考和解题是学习中非常重要的一个环节. 运用概念进行推理是质朴而有效的学习和训练方法，但它常常被我们在《高等代数》教学时忽视了．本研究拟从一个有名问题及其几种常见解法入手，通过把这个问题进行一般化来检验这些解法的适用范围，由此说明在解题时，理解基本概念是非常必要的，运用基本概念进行推理有助于理解问题的本质．

文献[1]是被广泛采用的经典教材，其第一章处理域上的多项式，涉及一个非常基本的概念：不可约多项式．在某种意义上，不可约多项式是这一章的基石，这个事实可以从下面的重要结论体现出来．

定理1([1，因式分解及唯一性定理])数域F上每一个次数≥1的多项式f(x)都可以唯一地分解成数域F上一些不可约多项式的乘积，所谓唯一性是说，如果有两个分解式

f(x)=p1(x)p2(x)…ps(x)=q1(x)q2(x)…qt(x)，

那么必有s=t，并且适当排列因式的次序后有

pi(x)=ciqi(x),i=1,2,…,s,

其中ci(i=1,2,…,s)是一些非零常数．

这是代数学里的一个……