湖南省怀化市铁路第一中学(418000) 高 用

1 引言

听了一节“函数的单调性”的新授课,引发了我对数学课堂教学中提问这一环节的深入思考.

案例师:(用多媒体投影给出了某一天某地气温随时间变化的图象,略)请同学们观察图象,说出气温在哪些时间段内是逐步升高的或逐步下降的?

学生看图之后议论纷纷.

师:什么叫做“随时间的增大气温逐步升高”?

生1 若有所悟,但又不好表达,似乎只能重复“随时间的增大气温逐步升高”的说法.

师:生1 同学,请你说说怎样用数学语言来刻画“随时间的增大气温逐步升高”的意思?

生1:如果用t表示时间,f(t)表示气温,则“时间增大”可用式子t1＜t2刻画;“气温逐步升高”就是t1和t2两个时刻所对应的气温f(t1)和f(t2)满足f(t1)＜f(t2).

师:你抓住了怎样刻画“时间增大”和怎样刻画“气温逐步升高”的关键,因而说得十分中肯.但根据数学语言的严谨性要求,什么叫做:“随着”?怎样刻画“时间段内”?这些均是要在描述中表达清楚的.请大家先看看下面的问题:

(1)对于任意的t1,t2∈[4,6]时,当t1＜t2时,是否都有f(t1)＜f(t2)呢?

(2)如果在(a,b)内取无数个值,使得t1＜t2＜···＜tn＜···时,有f(t1)＜f(t2)＜···＜f(tn)＜···,能否得到在区间(a,b)上函数具有“随着t的增大对应函数值f(t)也增大”这一特征呢?请举例说明.

学生若有所悟,议论纷纷,生2 举手发言.

生2:我似乎知道“随着”和“时间段内”的意思了.单调递增函数表现的是一个变化过程,这个过程和相应的自变量的区间有关.

师:很好!你能给出单调增函数的概念吗?

学生阅读教材,相互讨论,提炼出单调增函数的概念.

师:确实很棒!你能类比单调增函数的概念,给出单调减函数的概念吗?

······

点评案例中的“问题串”很有特色,具体可概括为两个方面:一是能有效的促进学生思考,激发求知欲望,并及时反馈教学信息;二是能促进师生在课堂中的良性互动.案例中提问设计总的框架是不错的,能引导学生从具体到抽象地认识单调函数的基本规律,“问”出了课堂的闪光点、概念的生长点,实现教学难点的突破.

但回头细细一想,案例中的提问似乎存在着不少问题.

(1)有些设问过于生硬,比如“什么叫做‘随时间的增大气温逐步升高’?”这样的问题,学生除了重复表述外,确实不知道该如何回答.

(2)提问不能只求正确答案,排斥求异思维.案例设计的问题,教师在其提问后只是要求学生按照他事先设计好的思路去回答,这样忽视了学生自觉、主动、真实、深层次地参与认知的过程.

(3)教师提问单调增函数概念后要求学生阅读教材在回答问题,这种提问不过是要求学生将基本内容进行一遍复述,没有思维的深度参与,甚至学生的思维受到了提问的绑架.综上所述,案例中的提问似乎缺少了一些“自然”的东西!

数学课堂教学中,提问是数学教学活动的重要组成部分,也是启发式教学的重要手段.数学课堂教学的自然提问并不是师生之间一般意义下的简单对话,它有着深刻地内涵.从学生角度看,提问必须具有可接受性、障碍性和探究性;从教师角度看,提问必须有可控性、针对性和目的性;从教学知识角度看,提问必须有可再生性、开放性和启发性.

带着对数学课堂教学自然提问的一些的思考,我在实际教学中进行了实践探究.

2 实践1:从学生熟悉的思维情境出发设问

在“平面与平面垂直的判定”中,通过自然的课堂提问,帮助学生架起思维的“梯子”,促使思维不断上“台阶”,逐步向未知领域探索,激发学生的学习兴趣,激活学生的思维.下面是其中的一个片段:

师:请同学们观察教室墙面与地面所在的两个平面,看看它们有什么关系?

生:我感觉是垂直关系.

师:你的感觉没有错,能说出为什么是垂直吗?以前见过类似的问题吗?

生:直线和平面垂直的判定问题.

师:当时是怎么处理的?

生:寻找直线与平面垂直的条件.

师:平面与平面垂直的条件是什么呢?你能否从分析直线与平面垂直的判定定理的条件和结论入手,获得关于判定平面与平面垂直的有益启示呢?

生:直线与平面垂直是通过直线与直线垂直判定的,由此可知,平面与平面垂直的条件应该是直线与平面垂直.

师:直线与平面垂直的含义是什么呢?上述思维过程中蕴含着怎么样的数学思想?

生:定义是“一条直线垂直于平面内所有直线”;判定是“一条直线垂直于平面内两条相交直线”.从定义到判定体现了数学的转化思想.

点评该案例找中课堂提问的设置首先让学生“动”起来,这也是师生进行良性互动的前提.这里的设问,从学生熟悉的思维情境引领学生思维逐步向未知的领域探索,激发学生的学习兴趣,可以说这样的提问是很自然的.

3 实践2:从学生熟悉的思维情境出发设问

二次函数中最大、最小值,尤其是含参数的二次函数最值的求解,学生普遍感到困难,为此我设计了如下的“问题串”:

问题1:求出下列函数在x ∈[0,3]时的最值:

(1)y=(x－1)2+1;

(2)y=(x+1)2+1;

(3)y=(x－4)2+1.

问题2:求函数y=x2－2ax+a2+2,x ∈[0,3]的最小值.

问题3:求函数y=x2－2x+2,x ∈[t,t+1]的最小值.

问题4:求函数y=sin2x－2 sinx+2 的最值.

问题5:求函数y=sin2x－2asinx+2 的最值.

点评上述设计层层递进,每解决一个问题就适时指出解决这类问题的要点,并引导学生进入更高层次的问题的探究过程.这种“问题串”式设问,不但通过问题引路使学生掌握了相关问题的解决方法,而且可以通过对比认知从结构上认识了各个问题的区别和相互联系,大大调动了学生学习的积极性和高效性,提高了学生的问题意识和思维灵活度.

4 实践3:解题教学中的自然提问

解题教学过程就是一个不断地提问和解决问题的过程.当学生对问题出现无法回答、答错或“跑题”时,教师应再次提问,即追问.实时、自然而有效的追问,可以促使学生进一步深入思考,“问”出问题的根源和探索的过程方法,乃至问题的数学本质,从而提升解题教学的效能.

题目已知函数x ∈[0,1],函数g(x)=x3－3k2x+5k,x∈[0,1].若对任意x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,求实数k的取值范围.

师:“任意”和“存在”是数学上很重要的两个概念,你是如何理解的?

生:“任意”是全称量词,表示所有、一切;“存在”是存在量词,表示有一个或者一些.

师:很好!如果本题改为“若对任意x1∈[0,1],总存在唯一的x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立”怎么理解呢?

生:“唯一存在”和“存在”不一样.我们知道f(x)=的值域是[－1,0],如果设函数y=g(x)在[0,1]上的值域为A,那么不仅[－1,0]⊆A,且y=g(x)在[0,1]上还要单调.

师:增加了“唯一”后解法是有区别的,但区别还不是很大.如果改为“若对任意x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得f(x1)≤g(x2)成立”会怎么样?

生:由题意可知函数y=g(x),x ∈[0,1]只要存在函数值不小于函数y=f(x),x ∈[0,1]的任意值即可,可转化为y=g(x),x ∈[0,1]的最大值大于或等于y=f(x),x ∈[0,1]的最大值.

师:再来想想“若对任意x1∈[0,1],任意x2∈[0,1],都有f(x1)≤g(x2)成立”又有什么不同呢?

生:这就变成“恒成立问题”了,可转化为y=g(x),x ∈[0,1]的最小值大于或等于y=f(x),x ∈[0,1]的最大值.

5 课堂自然提问策略

5.1 创设课堂教学情境自然提问

创设适当的问题情境可以调度学生的学习积极性和主动性,促使学生的认识从感性阶段进入理性阶段,思维的灵活性和广阔性会得到较好的发展.常用的创设课堂教学情境的提问策略有:

(1)通过教学与生活相结合创设问题情境.例如,“函数的概念”教学可从实际生活中的具体实例设置系列问题,以促成对函数概念的准确理解.

(2)利用趣味性、启发性的故事创设问题情境.如“求等差数列前项和”时,教学可引入“高斯巧算1+2+···+100的故事”提问,很自然就得到了等差数列前项和的一般求法,很容易唤起学生情感上的共鸣.

(3)利用多媒体创设问题情境.如“双曲线的离心率对开口有什么影响?”通过动静结合的教学图象,给学生带来一种全新的认知方式.

(4)创设实验问题情境.如“如何判断直线与平面垂直?”引导学生在折纸实验中获得体会和结论,从而逐步形成自主探究式得学习方式.

5.2 深入问题本质特征自然提问

在课堂提问中,所提问题要有针对性、启发性和探索性.问题应当围绕教学目标精心设计,设计的提问能反映知识的发生和发展过程,要促使学生深入理解教学内容的数学本质,切忌“是不是”、“行不行”、“对不对”之类的机械问答.同样的数学内容,同一层次的问题,提问的侧重常常也会有所不同,因此提问要多方位、多途径,也可以由多种解答、多种变式.

5.3 根据学生认知水平自然提问

使每位学生都能得到发展是现代教育所追求的一个目标,因此教师提问要照顾到全体学生.问题的设计应具有层次性,过于容易的问题,不能激起学生的学习兴趣,浪费有限的课堂时间;过于难的问题则会使学生丧失信心,无法保持持久的探索热情,使得提问失去价值.教师在突破难点时所设计的问题应由易到难、由简到繁、由表及里,层层递进,步步深入.通过不同层次的问题,调动起全体学生的学习兴趣,使每个学生都能得到提高.

5.4 寻觅提问合适时机自然提问

课堂提问问什么和什么时候问,是课堂教学自然提问的基本要素.如果教师准备不足,想到什么就问什么,会使课堂教学显得松散,起不到提问的作用.课堂提问的题目一定要斟酌,要“提”在需要处,“问”在点子上,对重点、难点问题提问时更应慎重,要紧紧围绕着重点、难点提问.对于学生的回答,教师应做出及时、明确的反应,使学生发现自己的不足,有时还应留些许时间让学生对其回答深入思考,让学生纠正错误思路.当学生解决了一个特殊形式的问题时,可以通过变式追问的方式,引导学生进行方法上的一般化探究,从而发现问题的关键所在,得到新的结论.这样可以有助于学生深入探讨问题思考方向,促进学生养成良好的学习习惯.