曹玉岩，王建立，陈 涛，吕天宇，王洪浩，张 岩，王富国

(1. 中国科学院 长春光学精密机械与物理研究所，吉林 长春 130033；2.中国科学院大学，北京 100049)

1 引 言

随着口径的不断增大，地基望远镜的结构尺度越来越复杂，结构重力/热变形会导致主次镜失调误差，从而造成成像质量下降，因此失调误差的主动补偿成为了研究的热点和难点[1]。以两镜面望远镜为例，即望远镜中只考虑主镜和次镜，光学系统的失调误差主要包括离焦和彗差，其中离焦是由主次镜间隔偏差所致，彗差是由主次镜相对偏心和倾斜所致，且会伴随有像散和球差出现。在望远镜失调误差校正方面，欧洲南方天文台ESO在NTT望远镜[2]上首先开创了基于主动光学的校正技术，利用波前传感器来监视图像质量，并分解为像差模式系数，以此作为反馈来调整次镜的位置实现失调误差校正。随后这项技术被广泛应用到8～10 m级地基大型望远镜上[3-10]，其中VLT望远镜采用3个独立的调整机构来分别调整离焦、偏心和倾斜[2]，TNG[4]和VST[5-9]采用Hexapod平台来补偿失调误差，MMT采用变形镜来实现失调误差补偿[10]。

从原理上，离焦偏差可以通过在光轴方向上移动次镜来补偿，而彗差则需要沿x和y方向移动并结合x/y方向转动次镜来补偿，伴随出现的像散和球差也相应的减小，这里假设z轴为光轴方向。因此，为了补偿主次镜的失调误差，即离焦和彗差，次镜需要在空间5个自由度上可调整。Hexapod平台由于具有刚度大、调整自由度多、位置误差不累计等优点，已作为次镜调整机构用于地基大型望远镜中[4-9， 11-12]。

在实际应用中，采用Hexapod平台调整次镜来校正主次镜失调误差通常有两种工作模式：一种是闭环模式，如VST[5]，以波前传感器反馈的像差模式系数作为反馈，实时调整次镜的位置；另一种是开环模式，通过望远镜在不同俯仰角度状态下观测恒星，标定出对应次镜的调整位置，工作时采用查表方式来实现失调误差补偿。在观测恒星标定时，需要准确给出Hexapod平台每个支杆的控制输入，在没有波前传感器的情况下往往很难从所观测的图像直接给出各个支杆的控制输入，通常采用反复迭代尝试的方式实现标定。若能利用望远镜结构力学模型，对不同姿态下的主次镜失调误差进行估计，根据失调误差的估计值进行标定，不但能提高标定精度，而且能降低标定迭代次数，提高效率。基于这一目的，本文以长春光机所研制的2 m口径地基光学望远镜为对象，研究基于Hexapod平台的主次镜失调误差估计和主动补偿技术。首先，详细介绍了望远镜的结构组成，并基于有限元方法建立结构力学模型。然后，简要介绍了失调误差的产生原因及失调误差补偿流程，以主次镜镜面节点当前位置作为输入，提出了基于非线性最小二乘拟合的主次镜失调误差计算方法，并在此基础上提出了基于空间坐标变换来确定Hexapod平台控制输入的方法。最后，分别给出了重力和热载荷环境下的数值算例，来验证本文提出的模型及计算方法。

2 望远镜结构力学建模

2 m级地基望远镜结构简图如图1所示，总体高度为6.4 m，宽度为3.7 m，总质量接近30吨。从光机结构角度，望远镜主要包括机架、主镜组件、次镜组件以及多个成像终端等，这里为了简化分析流程，仅考虑前三部分。

图1 2 m望远镜简化结构

机架是光学系统及其他观测终端的载体，通过俯仰轴和方位轴的高精度回转运动实现望远镜对任一天区的精确指向和对目标的跟踪测量。机架中各部分以及相互连接关系如图1所示，方位轴和俯仰轴均采用力矩电机直驱方式来实现回转运动控制。

望远镜主镜材料为SiC，具有比刚度大、质量轻、热稳定性好等优点。轻量化SiC主镜的支撑结构必须具有较好的热解耦能力，以解决SiC材料与支撑结构/镜室材料热膨胀系数差异大的问题，进而降低温度变化对主镜面形的影响。SiC主镜采用了A-Frame型柔性侧支撑方式，并结合18点机械式whiffletree轴向支撑方式，形成了镜体与镜室及支撑结构具有较好热匹配效果的被动支撑系统。SiC主镜支撑结构原理如图2所示[13-14]，6组柔性切向杆在主镜轴向和径向上均加工柔性切口，并通过A-Frame型结构扩展为12个侧向支撑点；轴向支撑结构为3个实际硬点通过逐级分散扩展方式形成18个等力支撑点，在每个支撑点处采用柔性细长杆与主镜相连接，充分利用柔性细长杆轴向刚度大横向柔度大的优势，在克服SiC主镜镜体重力的同时，能够实现主镜径向自由膨胀，进而实现热变形的解耦。

图2 SiC主镜支撑结构原理

望远镜次镜同样采用具有热变形匹配的bipod型支撑结构来消除热胀系数差异性对次镜面形精度的影响。此外，次镜及其支撑结构通过Hexapod平台实现位姿调整，以补偿因装调或结构变形造成的主次镜失调误差。

对于如此复杂的望远镜系统，即使不考虑其他成像终端，各组成部分的详细建模依然非常困难。因此做如下简化：望远镜的方位轴承和俯仰轴承承载裕度非常高，在力学分析时，将它视为理想体，即忽略钢球的摩擦及间隙对分析结果的影响；机械WIFFLETREE浮动支撑中的各个运动副，如球铰等，视为理想运动副，忽略摩擦及间隙的影响；连接次镜的Hexapod平台的6个支杆视为理想线性促动器，即不考虑Hexapod平台本身的控制误差。

针对上述2 m望远镜的简化结构，采用有限元方法建立望远镜结构动力学模型如图3所示，结构动力学方程可以表达为：

(1)

其中：[M]，[C]，[K]分别为质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，{x}为位移向量，{F}为载荷向量。

图3 2 m望远镜结构的有限元模型

望远镜工作状态下，方位轴和俯仰轴的转动速度非常慢，可视为准静态过程，由此结构动力学方程简化为：

[K]{x}={F}.

(2)

望远镜观测过程中，主镜和次镜的镜面位置和面形精度起决定性作用，因此在望远镜结构力学仿真模拟时往往更关心主次镜镜面节点位置的变化情况。主次镜镜面节点位移可以表达为：

(3)

其中：{qp}，{qs}分别为主镜和次镜镜面节点位移向量；[Φp]，[Φs]分别为与主镜和次镜相关的选择矩阵，在镜面节点位置处元素为1，其余元素为0。

利用由式(2)和式(3)所得到的镜面节点位移，并结合镜面节点的当前位置，可以将主次镜镜面的当前位置表达为：

(4)

式(4)给出了主次镜镜面上各个节点的当前位置，据此可以进行后续光学性能分析并通过控制Hexapod平台调整次镜进行失调误差主动补偿。

3 光学失调误差计算及主动补偿

3.1 失调误差产生的原因

在光学系统中，主次镜失调误差所引入的像差包括离焦和彗差，以及少量的像散和球差，可以通过主动控制主次镜的相对位置来补偿。如图2所示，望远镜主镜采用被动支撑方式，仅能通过控制次镜的位置实现对主次镜失调引入的像差进行补偿。

3.1.1 主镜支撑组件变形所导致的主镜偏差

由于主镜支撑结构中采用了柔性切口或细杆来适应光学材料与结构材料热胀系数的差异性，主镜支撑结构刚度有限，自身重力作用造成了主镜相对于主镜室的偏差，包括位置偏差和角度偏差，且偏差随着望远镜俯仰角度的变化而改变。

3.1.2 主镜镜面变形所导致的曲率半径偏差

主镜镜面曲率半径的变化会使光学系统产生离焦，需要根据当前镜面的曲率半径来调整主次镜间距来予以补偿。从分析结果上看，主镜镜面的曲率半径变化在0.01 mm量级。

3.1.3 桁架变形所导致的次镜偏差

如图1所示，在高度方向上，桁架的跨度非常大，接近2.5 m，尽管桁架结构中采用了直径很大的杆件，但由于环梁以及四翼梁等结构载荷非常大，接近500 kg，这间接造成了次镜的偏差。

3.1.4 热变形导致的失调误差

环境温度变化会导致结构热变形，使主次镜偏离理论位置，主要造成了主次镜间隔出现偏差，即离焦，其余偏差相对较小。

3.2 失调误差补偿的基本流程

在望远镜的工作过程中，结构变形导致主次镜失调误差，引入离焦和彗差，最终影响望远镜的观测性能。结构变形所引入的像差随着望远镜俯仰角度的变化而实时改变，通过控制次镜后端的Hexapod平台实时调整次镜的位置和姿态，从而对失调误差予以补偿，具体流程如图4所示。首先，利用望远镜结构力学模型，根据当前载荷条件，由式(4)计算主次镜镜面节点的当前位置。然后，根据主次镜镜面当前的节点位置，利用非线性拟合方法计算主次镜的最佳拟合曲面，这里将主次镜镜面均简化为球面，得到最佳拟合球面球心、曲率半径以及光轴方向。以主镜光轴及最佳拟合球面为基准，计算主次镜的位置和姿态偏差，并以补偿这部分偏差为目标，计算Hexapod平台支杆长度的变化量，即为Hexapod平台的控制输入，从而实现对光学像差的补偿。最后，对补偿后的主次镜进行光学性能分析及评价。

图4 失调误差补偿流程

3.3 主次镜镜面位置的非线性最小二乘拟合

在失调误差补偿流程中，一个重要环节是确定主次镜的当前位置。在结构力学模型中，主次镜的当前位置是由若干离散节点来表示的，采用非线性拟合方法来获得这些离散节点的最佳拟合曲面，并以此来表示主次镜镜面的当前位置是合理有效的方法。拟合误差定义为给定点与最佳拟合面曲率中心之间的正交或最短距离，这是一个非线性问题，必须采用迭代法来求解。本文以主镜为例，简要介绍镜面最佳球面的非线性最小二乘拟合过程，次镜的计算过程类似，不再赘述。

假设在几何模型中，q个参数向量a与p个测量数据X相关联，其关系由以下公式表示：

X=F(a)+e，

(5)

其中：F为关于参数向量a的非线性连续可微分函数，e为误差向量。

对于一组给定的测量数据X，参数向量a的非线性最小二乘估计的通用表达式为：

(6)

为了便于表达，这里以单位矩阵作为加权矩阵。对于以上非线性估计问题的求解，这里采用Gauss-Newton迭代法，其迭代格式为：

(7)

ak+1=ak+λΔa.

(8)

式(7)左端的偏导数项为雅克比矩阵J，其表达式为：

(9)

为了计算求解上述问题，在每个迭代步都需要计算各个离散测量点距离该几何特征上最近的点处的函数向量F的值，以及雅克比矩阵J的值，这是最小二乘拟合问题的一个必要条件。

n维空间中圆/球的示意如图5所示。球心位置为O，半径为R，可以由以下公式来描述：

‖X-Xc‖2=R2.

(10)

(11)

图5 圆/球拟合示意图

(12)

(13)

(14)

参数向量a的初始值可按如下公式来计算：

(15)

(16)

3.4 Hexapod平台支杆长度计算

望远镜主次镜镜面节点的当前位置经过球面非线性最小二乘拟合，可以得到最佳拟合面的曲率中心坐标、曲率半径及光轴方向，由此可以计算得到主次镜的相对偏差。以主镜当前光轴作为基准，通过实时控制Hexapod平台支杆长度来调整次镜的位置和姿态，可以补偿由主次镜失调误差引入的像差，其中确定Hexapod平台支杆长度，即控制输入，是关键。

Hexapod平台结构及简化示意如图6所示，6根支杆两端分别连接上下两个台面构成了并联结构，通过支杆长度的协调控制可以实现两个台面相对位姿的调整。在望远镜俯仰姿态变化时，Hexapod平台各支杆以及相关结构均会发生变形。因此，利用Hexapod平台刚体假设条件计算所得到的支杆杆长来控制次镜的位姿与预期理想位姿之间会存在一定的偏差。为了弥补平台以及支杆自身弹性变形所引入的偏差，这里以各支杆两端支点的当前位置来计算杆长，以当前支杆上以及次镜处于理想位置时的支杆长之间的差值作为控制输入。

(a)结构图

(b)简化示意图

如图7所示，假设O-xyz为全局坐标系，是望远镜的参考坐标系；O1-x1y1z1为次镜当前位置的局部坐标系，坐标原点O1为次镜的曲率中心，z1轴为次镜光轴；O2-x2y2z2为次镜期望位置的局部坐标系，坐标原点O2为次镜期望的曲率中心，z2轴为次镜期望光轴，期望光轴应与主镜当前光轴重合。

图7 基于Hexapod平台的次镜位姿控制

首先，根据当前姿态下望远镜主镜和次镜的曲率半径，通过光学分析计算得到主镜和次镜的理想间距，并根据主镜当前的曲率中心位置及光轴方向，确定次镜的期望曲率中心位置，次镜光轴的期望方向与主镜的光轴方向重合，因为主镜无法补偿自身姿态的变化。然后，采用逆运动学方法，将固连在次镜曲率中心处的局部坐标系通过平移和旋转，使次镜达到期望的位置和姿态，相应地，Hexapod平台各支杆的支点位置也做同样的变换。最后，根据次镜在当前位置和最终期望位置时，Hexapod平台各个支杆的支点位置，计算出各个支杆杆长的变化量，以杆长变化量作为Hexapod平台的控制输入条件。

用0F1表示坐标系O1-x1y1z1相对于全局坐标系O-xyz的位姿矩阵，0F2表示坐标系O2-x2y2z2相对于全局坐标系O-xyz的位姿矩阵。在主镜和次镜位置确定的情况下，根据坐标转换规律，坐标系O2-x2y2z2相对于全局坐标系O1-x1y1z1的位姿矩阵可以表达为：

(17)

假设坐标系O1-x1y1z1按滚动(R)、俯仰(P)和偏航(Y)的顺序旋转至与O2-x2y2z2一致的姿态，即依次绕z1轴旋转φa，绕y1轴旋转φo，绕x1轴旋转φn。按RPY顺序旋转后，姿态变化可以用矩阵表达为：

(18)

RPY姿态变化矩阵中的3个旋转角度相互耦合，需要求解3个角度各自的余弦和正弦值才能确定这3个角度值。采用解耦的方式进行求解，利用Rot(z1，φa)-1左乘式(18)，即：

Rot(z1，φa)-1RPY(φa，φo，φn)=
Rot(y1，φo)Rot(x1，φn).

(19)

式(19)表示经过RPY顺序旋转后，坐标系O1-x1y1z1的姿态与坐标O2-x2y2z2一致，展开可以表示为：

(20)

根据对应元素相等，可得到如下结果：

(21)

(22)

(23)

坐标系O1-x1y1z1经过RPY旋转后沿x1y1z1坐标轴方向平移至与O2-x2y2z2重合，可以通过左乘平移矩阵得到，即：

1T2=Tcart(px，py，pz)×RPY(φa，φo，φn)，

(24)

其中1T2表示坐标系O2-x2y2z2相对于坐标系O1-x1y1z1的变换矩阵。

图8 Hexapod平台矢量示意图

如图8所示，以0pi，1pi(i=1，2，…，6)分别表示Hexapod平台支杆下端的6个支点相对于全局坐标系O-xyz，坐标系O1-x1y1z1的坐标向量，其相互之间的转换关系可以表示为：

1pi=1F00pi.

(26)

(27)

0Bi(i=1，2，…，6)表示Hexapod平台支杆上端支点在全局坐标系O-xyz下的坐标向量，则Hexapod平台支杆的当前杆长以及期望位置处的杆长分别表示为：

li=‖0pi-0Bi‖2，

(28)

(29)

Hexapod平台支杆长度变化量可以表示为：

(30)

4 数值计算

为了验证所提出的基于Hexapod平台的望远镜失调误差及主动补偿过程，以图1所示的2 m口径地基望远镜为例，分别对重力变形和温度变化所引入的光学像差进行详细的分析和计算，并通过对次镜位置和姿态的调整实现对失调误差的主动补偿。望远镜坐标系定义及Hexapod平台支杆编号如图9所示，其中z轴为理想光轴方向，yz平面为与望远镜俯仰垂直的结构对称面，光轴竖直向上时俯仰角度为0°，光轴水平时俯仰角度为90°。

图9 坐标系定义及Hexapod平台支杆编号

4.1 补偿重力变形所引入的失调误差

对望远镜在不同俯仰角度下的重力变形进行分析，根据主次镜镜面节点的变形结果按前几节所述方法计算主次镜的最佳拟合曲面，以及主次镜的位置和角度偏差，进而计算由Hexapod平台来补偿当前位置处主次镜位置和角度偏差所需的支杆杆长变化量，即补偿控制输入。补偿前后，望远镜主次镜角度偏差随俯仰角度的变化如图10所示，位置偏差随俯仰角度的变化如图11所示，间隔偏差随俯仰角度的变化如图12所示。Hexapod平台支杆杆长随望远镜俯仰角度的变化情况如图13所示。

(a)补偿前

(b)补偿后

(a)补偿前

(b)补偿后

(a)补偿前

(b)补偿后

图13 Hexapod平台支杆杆长随望远镜俯仰角度的变化

理想情况下，即主次镜无相对偏差的情况下，光学系统的点列图如图14所示，0°视场、0.013°视场和0.025°视场的弥散斑半径分别为14.664，5.56和19.107 μm。光轴竖直、45°以及水平状态下，补偿前后光学系统的点列图如图15～图17所示。

图14 理想光学系统点列图

(a)补偿前

(b)补偿后

(a)补偿前

(b)补偿后

(a)补偿前

(b)补偿后

由图10～图13可知，补偿前主次镜的最大位置和最大角度偏差均出现在光轴水平位置，最大角度偏差接近25″，最大位置偏差接近0.2 mm；最大间隔偏差出现在光轴竖直位置，最大间隔偏差接近0.1 mm，随着俯仰角度增大，间隔偏差逐渐减小至零；经过Hexapod平台的补偿控制，最大角度偏差下降到0.006″，最大间隔偏差下降到7×10-5mm，最大位置偏差下降到0.015 mm；补偿前，在结构对称面Ry以及dx方向上存在着偏差，与Rx和dy相比非常小，这是由于有限元模型上网格对称性存在误差所致，这与实际结构加工装配等原因很难保证结构严格对称的情况是相符的；与角度偏差和间隔偏差相比，补偿后位置偏差下降较少，仅由0.2下降到0.015，这是由于在有限元模型中主次镜均采用球面近似，对主次镜节点的当前位置进行非线性球面拟合，以拟合后的球心位置与球面节点的几何中心连线作为光轴，这个光轴与实际会存在一定的偏差，导致主次镜位置存在一定的初始偏差；随着俯仰角度的增大，角度偏差、位置偏差及间隔偏差均表现出非线性特征，而且Hexapod平台的控制输入也存在一定的非线性特征。从这可以看出，在实际望远镜使用中，若采用事先标定的方式来补偿主次镜的位置偏差，Hexapod平台的控制输入也应是非线性的，需要尽量减小标定角度间隔以提高补偿精度。

由图15～图17可知，重力变形导致主次镜偏离理想位置，造成光学系统性能显著下降，光学系统弥散斑最大发生在光轴水平位置，弥散斑半径分别为1 474.27，1 473.68和1 473.34 μm；经过Hexapod平台的控制补偿，光学系统性能显著改善，弥散斑半径分别下降为30.57，27.08和32.80 μm。

此外，在光轴竖直的情况下，点列图为非对称的圆，其原因为结构有限元望远镜并非完全对称，这造成了即使仅受竖直向下的重力载荷，主次镜也会出现倾斜变形，即主次镜出现了相对倾斜偏差导致的非对称圆形点列图。

4.2 补偿温度变形所引入的失调误差

对望远镜在不同环境温度(-30～50 ℃)下的热变形进行分析，采用同样的方法计算主次镜的位置和角度偏差，并计算Hexapod平台支杆杆长变化量来补偿主次镜的偏差。补偿前后，望远镜主次镜角度偏差随温度的变化如图18所示，位置偏差随温度变化如图19所示。Hexapod平台支杆杆长随温度的变化情况如图20所示。

(a)补偿前

(b)补偿后

(a)补偿前

(b)补偿后

图20 Hexapod平台支杆杆长随温度的变化

环境温度为-30 ℃，0 ℃和50 ℃情况下，补偿前后光学系统点列图分别如图21～图23所示。

(a)补偿前

(a)补偿前

(b)补偿后

由图18和图19可知，温度变化主要引起望远镜主次镜间隔的变化，引入离焦，最大变化量达到1 mm以上，角度偏差以及位置偏差相对较小；经过Hexapod平台的补偿控制，主次镜间隔偏差及角度偏差接近零，而由于模型计算误差的原因，仍存在位置误差。

由图20可知，随着环境温度的增大，Hexapod平台的控制输入基本按线性变化。从这可以看出，在实际望远镜使用中，对环境温度的补偿可以按线性考虑。

(a)补偿前

(b)补偿后

从图21～图23可以看出，受环境温度的影响，结构热变形造成主次镜偏差，导致光学系统性能下降。环境温度为-30 ℃时，弥散斑半径最大接近557 μm，经过Hexapod平台的控制补偿，-30 ℃，0 ℃，50 ℃下系统弥散斑半径分别下降为32.217，28.491和32.832 μm。

5 结 论

本文针对地基大型光学望远镜中结构及热变形所导致的光学系统失调问题，研究了失调误差的估计方法及基于Hexapod平台的主动补偿过程。利用有限元方法建立了望远镜结构力学模型，然后研究了基于非线性最小二乘拟合的望远镜主次镜失调误差计算方法，以及基于空间坐标变换来确定Hexapod平台支撑杆长的方法。数值仿真结果表明：重力变形和热变形均使光学系统出现明显的失调误差，弥散斑最大达到了1 473 μm和557 μm，经过次镜位置补偿，光学系统性能明显得到改善，弥散半径下降到32 μm以下，从而验证了本文提出的失调误差以及Hexapod平台支杆长度计算方法。