鞠银

（上海电机学院文理学院，上海 201306）

旋转体是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体。掌握旋转体体积的计算具有非常重要的实际意义，并且有助于学生分析和解决问题的能力。本文以旋转体的体积为例，介绍多种方法，使学生能够更好地理解微元法，并能熟练地求解各类旋转体的体积。

求抛物线x=y2与直线y=x所围的区域D,计算将D绕直线l:x=1旋转一周所得到旋转体的体积。

解：方法1 采用截面法，用垂直于旋转轴的面积元素绕旋转轴所得的体积看作旋转体的体积元素

选y为积分变量，y∈[0,1]

方法2 柱壳法：用平行于旋转轴的面积元素绕旋转轴所得的柱壳体(将柱壳体展开，

可以近似成一个很薄的长方体)的体积看作旋转体的体积元素。

选x为积分变量，x∈[0,1]

解：方法1 采用截面法，选x为积分变量，x∈[-a,a]

方法2 采用柱壳法，选y为积分变量，y∈[0,b]

方法3 采用三重积分的先二后一的方法计算体积，

解：此题可以采用前面介绍的截面法或者柱壳法都可以求得旋转体的体积.这里我们介绍另一个方法.根据古希腊数学家Pappus总结出的一个旋转体的体积公式,d为区域D的重心到旋转轴的距离，S为区域D的面积.圆的面积为π，重心到y的距离d=2.

由这个公式我们发现对于一些重心比较好求的图形绕平面内某一条直线旋转一周而成的旋转体的体积是比较容易求得。

解：此题和前几例的不同点是旋转轴不和坐标轴平行。此题我们采用Pappus定理来解非常方便。这里我们介……