郝春然

函数的概念是从广泛的实际问题中抽象出来的，在当今社会应用广泛，在数学，计算机科学，金融，IT等领域发挥着举足轻重的作用。函数这一概念从提出到如今渗透到数学的各个层面，都在数学学科中有着不可撼动的地位。有关函数的知识是初中数学的重要内容之一，高中进一步学习幂函数、对数函数和指数函数，以及解析几何中直线、圆锥曲线等知识的基础，函数知识又是解决实际问题的重要工具。

函数的知识如此重要，但是，很多学生感觉到学习函数很困难，在对我校120名同学的调查中，有20名同学对函数的感受是“太难了”，有68名同学对函数的感受是“有点难”，有32的学生对函数的感受是“挺容易的”。“太难了”占到的比例是16.7%，“有点难”占到56.7%。在感受到“太难了”或“有点难”的88名同学中，有36名同学认为是函数的概念很难，所占比例是40.9%.

因此，本文对函数的专题研究，主要围绕函数的概念和三种表示方法来开展。

一、图象法

关于函数图象，初中数学课本八年级下册（北京版）中给出了函数图象的做法：把一个函数的一个自变量的值，和它所对的因变量的值分别作为一个点的横纵坐标，就能在平面直角坐标系中描出相应的一个点，由所有这样的点组成的图形，就是这个函数的图象。

回顾函数概念的发展史，探究函数概念的渊源，我们会惊奇的发现：学生遇到的困难具有历史相似性。比如，在历史进程中，从研究不变的量到研究变化的量经历了重重阻碍，伽利略反对“不变才是高贵的、完全的科学”的说法，从而受到罗马教皇的镇压，接受审判，被關进监狱，晚年凄惨。可见，当时要想让人们接受：“把变化的量作为科学的研究对象”是多么艰难的一件事，这种艰难也同样发生在了我们的学生身上。

在2011年至2015年，以及2017年的6年里，北京中考数学试卷的最后一道选择题一度称为经典的难题类型，都是匀速运动的点到一定点的距离随时间或某一线段长度的变化而生成的图象问题。

此类题目要求学生能够研究变化的量，以及一个变化的量随另外一个变化的量而连续变化的情况，“变化的量”成为学生认知的困难，缺乏函数观念。

函数图象，特别是连续变化的函数图象最能反应函数自变量与因变量之间的“依赖关系”，这种成依赖关系的变量在我们的生活中随处可见：我们乘车出门，那么汽车上的计时表、速度表、里程表都是时间的函数;医院里，病人的脉搏、呼吸、体温等随病情的变化而变化，也是时间的函数，最能体现函数产生的社会需要。因此，不论是中考要求，还是社会需要，我们都要重视对学生函数观念的培养。

二、列表法

列表法，即用列表法来表示函数关系的方法称为列表法。图象法最能体现函数与自变量的“依赖关系”，那么最能体现函数概念的“对应关系”的是哪种方法呢？

由于不是每个函数都能用表达式来表示，因此我做了图象法与列表法的一个对比小测试。我在本校初中部三个年级测试了2018年北京中考数学的第16题：

在测试完这道题后，在没有任何讲解或学生交流的情况下，紧接着测试如下题目：

这两道题其实是同一道题，只不过采用了两种不同的函数表示方法，题目1是图象法，只不过图象是离散的一些点，题目2是列表法，用的字母符号更突出对应关系。

对比测试结果显示：题目1的正确率低。初二和初三的学生正确率只有30%左右，初一学生由于没有学习函数的概念，正确率只有5%左右;题目2的正确率有了显著提高，初一和初二的学生正确率都超过了80%，初三学生的正确率接近90%。由此，得出结论：列表法比图象法能让学生更容易的发现函数的对应关系，那么最能体现函数概念的“对应关系”的是列表法。

表格法最能让学生发现自变量和因变量之间的对应关系，“对应关系”恰恰是函数概念的最本质特征。因此，我认为在函数概念的教学中，教师应发挥表格法在体现“对应关系”上的优势作用，重视列表法的教学。

三、解析法

初中数学课本八年级下册（北京版）中：用含有自变量的代数式来表示因变量的式子叫做函数的表达式。这种表示函数关系的方法称为解析法。

那么为什用“解析”这两个字呢？其实，在几年前，初中各个版本的教材曾一度用“解析式”一词来表示含有自变量的代数式，而并非“表达式”。考察函数概念的发展演变史，不难发现，函数概念的萌芽伴随着解析几何的诞生，两者曾一度纠缠，混为一谈。

其实，解析几何是先有的轨迹，也就是图象，后建立坐标系，求出的轨迹方程的。某些轨迹方程经过恒等变形，坐标变换，就成为了初中数学内容的函数表达式。因此，初中阶段对基础函数的教学过程中，特别要注意的一个事实是：函数的表达式决定函数图象。