基于直观能力培养的“草图”表征教学例谈

2020-12-17江苏省太仓市镇洋小学张友峰

数学大世界 2020年34期

江苏省太仓市镇洋小学张友峰

“草图”是指不拘泥于数学严格作图规范要求，通过灵活画图，来整理问题信息，来分析逻辑关系，来直观呈现问题本质的一种数学图形表达方式。从一年级开始，学生就涉及各种各样需要画图分析才能解决的问题，“草图”学习显得格外紧迫，“草图”与图形直观能力的培养息息相关。

一、直观的台阶：“草图”在问题解决中的价值引领

1.“草图”区分问题的类型

一年级的排队问题是“草图”表达的典型案例，一上是简单排队问题，一下是较复杂的排队问题。排队问题中的“几”和“第几”对于学生来说是比较抽象的，“几”和“第几”涉及数学的基数和序数概念。例如，有的排队问题观测人从前往后数是第几人，从后往前数第几人等。此类问题类型多变，非常容易混淆，通过“草图”来进行类型整理，可以把枯燥的数学内容直观化，更好地区分问题的不同类型，突破教学难点。

2.“草图”转化代数问题

代数问题是抽象的，一年级有没有代数问题？当然有。学习了“＜”“＞”后，在实际教学中经常会碰到这样的问题：8+（）＜13，（）里可以填几？此类问题比较抽象，如果一一列举，容易遗漏，但是如果把这样的代数问题进行图形表达，问题就迎刃而解了。代数问题是抽象的，图形表达是直观的，学生的年龄特点和学习起点决定了问题解决的直观导向。“草图”表征可以推广到更加复杂的问题中，通过多元表征培养学生的高阶思维能力。

3.“草图”勾连生活经验

“草图”表达来源于生活经验，需要把生活经验转化为图形语言。两个有意思的问题：一个是“老鹰捉小鸡”问题，另一个是“捉迷藏”问题。这两个问题来源于生活，可以让学生先进行角色扮演，“老鹰捉小鸡”问题包括了三个角色：老鹰、母鸡和小鸡，而“捉迷藏”问题包括了两个角色：捉的和被捉的。学生通过实际体验可以发现问题的不同，在此基础上进行“草图”直观表征，把生活经验转化为图形表达，用简单的图形符号来直观呈现问题的本质，既培养了学生的学习兴趣，又可以取得不错的学习效果。

二、直观的过程：“草图”在数学探究中的素养提升

1.体现全员参与的过程

“草图”是结果性呈现的，一幅图代表了对于一个或一类问题的结果思考。在解决数学问题时，借助图形发散性表征可以帮助学生更好地进行数学推理和几何直观，对于思维品质和关键能力的培养作用显著。但是学生个体的思维往往是孤立的、内隐的，即使通过小组合作，许多高阶思维过程也很少能够被同伴捕捉。

2.凸显发现规律的过程

规律是动态生成的，小学阶段的规律一般都有周期性，一年级的规律往往是用图形的方式呈现的，周期性就代表了重复出现，例如，“○○□○○□……”，也有一类规律是比较特别的，如“○□○□□○……○□□□□□□○”，想知道中间有几个□，必须要画图。在问题解决过程中，不断渗透画图操作的技能训练。与文字相比，“草图”更直观，与实践操作相比，“草图”更抽象，“草图”表征可以帮助学生发现规律，架起数学探索的桥梁。

3.呈现动手操作的过程

有时候结果性呈现的“草图”也能体现操作的具体过程。例如，折纸问题：正方形纸折一次，折成两个完成相同的图形，有几种方法？这类问题是注重体验和实践的，在实践基础上可以把操作过程图形呈现。又如：两张纸都是5 厘米，把它们订在一起，重叠处长2 厘米，现在这张纸长多少厘米？教学实践中，有学生通过两张A4 纸操作演示来发现“奥秘”，也有学生直接画“草图”来找出规律。操作是体验性的，而数学学习最终是要走向抽象的，抽象能力的培养必然要经历从生活经验到数学经验的转变过程，而“草图”表达是其中非常重要的一环。

三、直观的形式：“草图”在数学表达中的呈现方式

1.“草图”要追求简洁明了

例如，“一半的一半”问题：妈妈给强强买了一些铅笔，强强第1 周用了这些铅笔的一半，第二周用了剩下的一半，现在剩下3 支铅笔，妈妈一共买了几支铅笔给强强？由于一年级学生还没有学过平均分，也没有学乘法，有学生画线段图和示意图来研究，但这样的画图方式脱离了孩子的认知基础。“草图”一旦失去了简洁性，也就失去了存在的价值。有学生打破常规，把圆分成四等分，清晰直观，一目了然，问题迎刃而解。

2.“数字”表达也是一种“草图”

图的形式是多样的，能够帮助我们分析逻辑关系和问题本质的表达方式都属于“草图”范畴。有时候学生会通过数字排列的方式来梳理题意，例如：“一本故事书，小明从第6 页开始看，看了10 页正好看完，这本故事书一共有多少页？”这类问题如果直接列算式，容易忽视“第6 页开始看”这一隐藏条件，导致解题错误，但是如果列一列、排一排序不难发现，第6 页之前是5 页。从审题的角度来讲，“草图”的内在价值不言而喻，数学学习不能僵化和教条，需要给予孩子充分的发挥空间，规定动作太多可能会限制学生的思维。