云南省宣威市第九中学 (655400) 孙承雄

一、问题背景

图1

(Ⅰ)求以线段F1F2为直径的圆的方程；

(Ⅱ)过点P(4,0)任作一直线l与椭圆C交于不同的M,N两点.在x轴上是否存在点Q，使得∠PQM+∠PQN=180°？若存在求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.

在第(Ⅱ)问中，通过求解得出存在点Q(1,0)，使得∠PQM+∠PQN=180°,如图1.那么，对一般的椭圆，上述性质是否成立呢？

二、问题的探究

下面分两种情况讨论：

(2)当直线l的斜率为0时，不妨设M(-a,0),N(a,0)，注意到P(m,0),m∈R0,±a}，则∠PQM+∠PQN=180°成立，此时存在点Q(n,0).

于是得到如下性质:

三、推广

对椭圆成立的结论是否也适用于双曲线和抛物线呢？通过探究发现，类似结论仍成立.

性质3 已知抛物线C：y2=2px(p>0)，若过点P(m,0)(m≠0)的直线l与抛物线C交于不同的M,N两点，则存在点Q(-m,0)，使得∠PQM+∠PQN=180°.

特别地，当点P为椭圆、双曲线、抛物线的焦点时，性质1、性质2、性质3就是文[1]的结论．

四、逆向探究

证明：下面分两种情况讨论.

由情形(1)和(2)可知直线l恒过定点P(m,0).

性质6 已知抛物线C：y2=2px(p>0)，m∈R0}，点Q(-m,0)，若直线l与抛物线C交于不同的M,N两点，使得∠PQM+∠PQN=180°，则直线l恒过定点P(m,0).