福建省南平第一中学 (353000) 陈晓铃

图1

题目(2018年高考浙江卷)如图1，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.(1)设AB的中点为M,证明：PM垂直于y轴；(2)略.

本题内涵丰富，意境深邃，值得深入探究.以下是由本题第(1)小题引发的一系列探究.

1 纵向探究：由特殊到一般

问题1本题(1)的结论是关于特殊的抛物线C：y2=4x的一个性质，对于一般的抛物线C：y2=2px(p>0),此结论是否仍然成立？

结论1 已知点P是y轴左侧一点，抛物线C：y2=2px(p>0)上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上，设AB的中点为M,则PM平行于抛物线C的对称轴.

类似地，可得

结论2 已知点P是x轴下方一点，抛物线C：x2=2py(p>0)上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上，设AB的中点为M,则PM平行于抛物线C的对称轴.

2探究极限位置：由“割线”到“切线”

问题2上述结论涉及从抛物线外一点出发的两条割线的性质，那么对于这两条割线的极限位置，即当割线演变为切线时，有什么相应的结论？

结论3 已知P是抛物线C：y2=2py(p>0)外(不含焦点的区域)一点，直线PA,PB分别与抛物线C相切于点A,B，设AB的中点为M,则PM平行于抛物线C的对称轴，且抛物线C平分线段PM.

类似地，可得

结论4已知P是抛物线C：x2=2py(p>0)外(不含焦点的区域)一点，直线PA,PB分别与抛物线C相切于点A,B，设AB的中点为M,则PM平行于抛物线C的对称轴，且抛物线C平分线段PM.

由结论4可得，若线段AB的中点M的横坐标为xM,则点P的横坐标xP=xM,且点A,M,B的横坐标成等差数列，从而可得点A,P,B的横坐标成等差数列.这就是2008年全国高考山东卷(理)题22第(1)小题的结论：

图2

如图2，设抛物线方程为x2=2py(p>0),P为直线y=-2p上任意一点，过点P引抛物线的切线，切点分别为A,B.(1)求证：A,M,B三点的横坐标成等差数列；(2)、(3)略.

3 逆向探究：由原命题到逆命题

问题3 在上述结论中，设P是抛物线C外(不含焦点的区域)一点，点M在弦AB上，记①直线PA是抛物线C的切线；②直线PB是抛物线C的切线；③M是弦AB的中点；④PM平行于抛物线C的对称轴；⑤抛物线C平分线段PM.则结论3、4即①②③⟹④⑤，那么其逆命题：②④⑤⟹①③成立吗？

结论5 已知P是抛物线C：y2=2px(p>0)外(不含焦点的区域)一点，直线PB是抛物线C的切线，点M在弦AB上，PM平行于抛物线C的对称轴且被抛物线C平分，则M是弦AB的中点，且直线PA是抛物线C的切线.

类似地，对于抛物线C：x2=2py(p>0)，可得

结论6 已知P是抛物线C：x2=2py(p>0)外(不含焦点的区域)一点，直线PB是抛物线C的切线，点M在弦AB上，PM平行于抛物线C的对称轴且被抛物线C平分，则M是弦AB的中点，且直线PA是抛物线C的切线.

图3

以上对一道高考试题进行多向探究，得到了关于抛物线的一系列性质.高考试题是命题者心血和智慧的结晶，是命题者留给我们的一笔宝贵“财富”.我们不仅要研究试题的解法，还要引导学生探究隐藏在试题背后的奥秘，发掘试题的内涵，发现新的规律.只有这样，才能领会到试题的深刻背景，才能引领学生跳出题海，做到触类旁通、举一反三，从而培育和提升学生的数学学科核心素养.