摘 要：义务教育数学课程标准提出了数学改革的十大核心概念，其中数学符号感就明确了具体目标要求。数学符号感是一种学生对数学符号系统的认知和理解的文化积累，要投入大量的心智成本去理解数学语言的意义，光靠记忆、背诵口诀是不行的。在数学文化的视域下，文章提出了小学生培育数学符号感的意义;小学生数学符号感培育的特征;小学生数学符号感培育的途径与方法三个命题，为一线教师提升新课程标准执行力助力。

关键词：数学;符号感;培育

义务教育数学课程标准把数学思想和方法列入教育目标，归纳成十个核心素养，其中符号感也是十大核心素养之一。数学符号是一种含义高度概括，形体高度浓缩的抽象科学语言。小学生学习数学要在数学符号发展的历史长河中，认识符号、理解符号、运用符号，感受数学符号的文化意义，从而提升自己的数学文化素养，建树一种探索创新的科学精神。

一、 小学生数学符号感培育的意义

数学符号是用以表示概念、数量关系的记号，是记录数学理念和方法，建立概念和思维运算的专用文字，对人类的数学文化发展起着极其重大的意义。首先，数学符号的出现是数学诞生与发展的重要标志，不同地区、不同文化、不同民族都有各自的数学符号标记。其次，数学符号简明直观，准确简约表达和交流人的思维活动过程，体现了数学美。最后，数学符号化，使数学发展的抽象化具有可操作性。小学生学习数学就像学习一门新的语言一样，走进了一个崭新的符号系统，用属于数学专用的语言认识世界，交流自己的思维活动。

从文化学的视角看数学符号的产生，有跟汉字造字相通之处。学生数学符号感的产生是对人类文化的深度理解，是对人类智慧的高度信仰。例如圆周率π，最重要的并不是只知道什么是圆周率，或者圆周率≈3.14，最重要的是理解π符号背后的文化信息：中国文化对圆周率产生的贡献;π隐含的有限与无限哲理;数的扩充等等。学生从具体事物到数字符号完成了第一次抽象，从数字符号到概念符号和运算符号完成了第二次抽象，学生符号感的产生是学生抽象思维的层级发展过程。

二、 小学生数学符号感培育的特征

数学符号的产生和发展来自生产和生活，最早产生的是自然数、几何图形。自然数概念符号依赖于算术运算，早期都用“表意”和“缩写转注”方式呈现。几何数学符号一般都比较直观，用“象形”方式呈现。例如三角形用“△”表示，垂直用“⊥”表示等等。小学生数学符号感的形成是一种跨文化的认知实践，学好、用好世界统一的数学符号是学生数学核心素养的目标要求。

（一）小学生数学符号感培育的三个不同阶段

第一阶段是图性直观体验阶段。幼儿时期接触的数字符号，并不告诉他们符号是怎样发展而来的，只是从自然物件中抽象成一个记号，“2”像小鸭，“3”像耳朵，“5”像秤钩等，“加”“减”是通过操作体验形成概念的。第二阶段是义性识记阶段。例如：“∵”“∴”表示因为……所以……，π表示圆周率，S表示面积，V表示体积等等。某个字母，某个记号表示某个特定的概念，要依靠学生的识记能力掌握数学符号的义性。第三阶段是唯义抽象阶段。小学生在学习“字母表示数”后，对数学符号的认识就进入了唯义抽象阶段，这种抽象是后继学习数学的基础，高等数学的符号基本上都是唯义抽象的。小学生在符号感缺失的条件下，经常会犯以下错误：4+15=415，a+1b=a1b，4、5是数字符号，4+15=415是成立的，a、b是字母符号，a+1b=a1b就不成立了。唯义抽象阶段的学习要求学生掌握符号的定义域和特殊的符号含义，要深度理解符号背后的概念、定义和表述的实际意义。

（二）从a+1b=a1b的错误分析说起

教材“字母表示数”是从实物、图形、数字、符号逐步拓展的，最后用字母表示特殊数、特殊单位名称，为引进方程概念及代数运算作铺垫。其实运种教材的编排是有缺陷的，教材只关注了数学符号的实用意义，忽视了数学符号文化意义的建构。字母表示数不仅是数学表达形式的变化，而且表示了人类对数学符号抽象思维层级上的变化和提升。4+15是数字明确的自然数“4”和15个单位“1”的合并，4+15=415是成立的。a+1b中，“a”和“b”都是任意数，在小学生学习数学阶段可以是自然数，也可以是小数、分数，小学高年级可以理解为有理数。a+1b≠a1b，应该是a+1b=abb+1b=ab+1b，只有当a、b都是自然数并且b≠0时，a+1b=a1b才成立。数学符号感是建立在符号背后意义深度理解基础上的一种直义的感觉，要在理解的基础上加以运用，又要在运用中加深意义的理解。

（三）学生中算术思维转入代数思维，在数学的表达上往往会犯错误

算术式的表达是用几个等号连接表达其运算过程，例如（20+5）×4=25×4=100，但是代数中的解方程，学生往往犯算术表达式的错误，老师一般只强调书写格式的规范，不明其中符号背后的意义，例如：x+5=6×2，x=6×2-5=12-5=7，老师要求学生订正，学生并不理解为什么。x+5=6×2是一个方程，x=6×2-5也是一个方程，且是一个等价方程，解方程的过程是未知量参与的等式恒等变形，x+5=6×2→x=6×2-5→x=12-5→x=7始终在方程思维的轨道上展开，归根结底，学生并不是书写上的错误，而是用算术思维去看待代数思维的学习内容。

小学生数学符号感的培育是一种数学文化实践，要有识忆、理解、应用、评价的认知过程，教师要从数学符号的意义着手，在习题练习中加深学生对数学符号意义的深度理解，从直观层面提升到抽象概念层面，把学生学习数学的过程回归到数学发展的历史长河。

三、 小学生数学符号感培育的途径与方法

人生活在三个世界：物理世界、精神世界、自我世界。学习是三个世界的三种文化实践，即认知实践、文化实践和自我批判和反思性实践。学校是一种特殊学习的社会性场域，学生在指定的课程中进行有意义的学习活动，许多核心素养是通过符号将文化一代一代传承下去的。某种意义上讲，学校的学习是通过语言符号作媒介有序展开的，数学符号只是许多语言符号中极其重要的一种。准确理解符號，灵活应用符号，使用数学符号来表达自己的思维过程，提炼自己对世界事物的认知，这是学习数学的根本目的。

（一）课堂教学要与小学生的生活经验相衔接

人的任何一种语言符号的产生都离不开生活实践，数学符号的产生也如此。但是任何一种语言符号系统都高于生活，并在创新中不断发展。小学生学习数学本质上是一种符号性学习，依靠的是理解、分析和应用，并不单纯的依靠记忆。课堂教学要与生活现实情境相结合，但是不能强调数学生活化而抛弃了数学抽象化、简约化的本质。要把数学语言和生活语言、艺术语言区分开来。例如，平时我们讲大于20，那么20是否包括在大于范围内呢？不够明确。A>20就非常明确20不包括在内，A≥20就明确了20包括在内，这在医院里各种化验报告上经常见到。数学符号的产生来源于生活，并应用于生活，这种现象可称作“回归”。我们在培育小学生数学符号感方面，要精心挑选生活中的案例，佐证符号的文化意义，激活学生的符号意识。

（二）数学教学要讲一些数学发展史

小学数学教材十分注意教学知识跟生活实际的结合，但是并没有突出数学的文化本质，很少讲到数学在人类文明史中的贡献。例如圆的概念知识。事实上人类对圆的认识和探究是继火的应用、铁的发明之后的第三个文明进步，有了圆的认识，才有车的发明。以后的机械发明、建筑离不开圆，甚至于人类对宇宙的认识也认为“天圆地方”。我们在讲数学符号“π”时，只讲π是圆周率，圆周长跟直径的比约等于 3.1416。如果我们再讲一讲π背后的故事：中国数学史中的疏率和密率，π的有限与无限，茅以升爷爷背3.1415926……的故事等等，小学生对“π”的认知就不会仅仅停留在3.14上，而会对数学符号产生一种学术信仰，从而带来一种数学符号感的自觉追求。

（三）在弄清数学符号意义的基础上，尽量鼓励学生用符号来推理运算和表达自己的思维过程

阅读不仅仅是语文学科的任务，而且也是数学、音乐、美术学科的基本任务。小学生能读懂数学例题，并用自己的思维模式理解例题，这是非常重要的。大多数老师总是把数学教科书当作练习册，把练习册当作教科书，只让学生反复做，不让学生反复想，由此学生害怕数学，讨厌数学，丧失学习数学的信心。

与阅读同行的是表达。阅读是符号变成心智，表达是心智变成符号的可逆心理过程。小学生很少有用数学符号表达自己思维过程的机会，很少要求讲一讲算理。例如：学习多位数，学生只知道背数位，不知道265=2×100+6×10+5×1的展开式。到了小学高年级，自然数的展开式ab……yz=a×10m-1+b×10m-2+……+y×101+z×100的意义就不理解了。数学的阅读能力和写作表达能力与语文学科是同等重要的，要鼓励小学生写数学小论文。

（四）要注意小学生运算符号和数量符号的混淆

数学符号是有分类的，但符号是不能运算的，只有数量才能运算。因为表示数量的字母可以用不同的数替代，有的甚至可以用式子代替，任何一个数学符号都有内在的条件，不能参加运算，不能滥用。倒如平均数，表示一群数的相对集中的程度。一年级数学测验成绩的平均数=一年级所有学生测验成绩的总和一年级学生总人数，如果知道每個班级的成绩平均数1、2、3、4，不能用1+2+3+44来计算，这是班级平均数的集中程度而不是所有学生测验成绩的集中程度，况且要跟事物的离散程度综合起来评估才有现实意义。目前，我们以班级学科测验成绩的来评定教学质量的优劣，是不科学的，造成了学生学业负担过重，学习障碍学生被遗弃，拼命进行无意义的重复操练等等。运算符号和数量符号混淆，学习数学符号“一锅煮”，给学生后继学习带来的后果是灾难性的。教师要主动指导学生有意识地提高自己学习数学符号“依形思义，形义结合”的实际能力。

数学符号有一个发展和创新的过程。许多符号存在“一符多义”和“一义多符”的现象，教师要严格要求学生规范准确使用世界数学界统一的符号，一定要做到对数学符号的意义、读写、含义准确无误，数学教师也要一丝不苟。

作为义务教育数学课程目标的十大核心素养之一的数学符号感的培育是一个长期的浸润性目标任务，光靠记忆和反复操练是完全不够的，要依靠长年的心智和经验的积累。新课程目标为一个各格的小学数学教师提出了一个符合时代发展要求的新的专业发展要求，把数学符号感的培育纳入数学教育的新视野，用数学文化的新视角，创新和改革我们的数学课堂教学新范式，这是深化新课程标准改革，全面推进素质教育的新任务。

参考文献：

[1]徐品方，张红.数学符号史[M].北京：科学出版社，2006.

[2]2011年版义务教育数学课程标准解读[M].北京：北京师范大学，2010.

[3]梁宋巨.世界数学史简编[M].沈阳：辽宁教育出版社，1981.

[4]张奠宙，等.小学数学教材中的达道理：核心概念的理解与呈现[M].上海：上海教育出版社，2017.

作者简介：

吴永华，江苏省苏州市，苏州市敬文实验小学校。