邵佳雯

摘 要：代数归纳经验，即从具体问题出发，从特例入手，尝试性地进行数字计算，摸索规律法则，得出猜想，并尝试加以验证，归纳出一般原理。代数归纳经验重在“观察、猜想、验证、概括”四个步骤，只有这四个步骤落实到位，学生的代数归纳经验才能掌握。围绕代数归纳的四个步骤，从观察发现，大胆猜想，全面验证，精炼概括四个构成，确定代数归纳活动经验目标制定的相关原则。

关键词：代数归纳经验;经验目标;目标制定

代数归纳是从特殊到一般的活动，由一系列具体事实概括出一般原理。

代数归纳经验，即从具体问题出发，从特例入手，尝试性地进行数字计算，摸索规律法则，得出猜想，并尝试加以验证，归纳出一般原理，进而感悟数学的严谨性，增强数学的学习兴趣。让学生经历具体数字计算到符号、数学语言表达的过程，即由特殊到一般的过程，由此逐渐积累相应的代数归纳经验。这种思维方式的活动经验，能促进学生的数学学习，同时有益于学生终身可持续发展。要使我们的数学活动更有针对性，更有效地展开，我们必须明确我们数学活动的经验目标是什么，该怎么制定。笔者结合自己的思考，围绕代数归纳的观察、猜想、验证、概括，浅谈小学数学代数归纳经验目标制定的四个构成。

一、注重“观察”经验积累，找准共性与本质

观察是一种“思维的直觉”，学生的数学观察能力是学生顺利完成数学活动不可或缺的。它是获得知识、提高能力的敲门砖，为学习发展奠基。启发学生，引导他们从不同的数学现象中观察出事物的共性和本质，或者从司空见惯的事物中看出不同，是经历代数归纳经验活动的第一步。

有学者认为：“儿童有一种注意某些线索而无视另一些线索的强烈倾向，这种倾向常常受外界制约而左右着自己的行动。”因而在学生的数学观察活动中，要明确观察的方向。

低年級的学生缺乏独立观察的能力，在观察活动中，东瞧西看，无序观察，导致分不清主次，把重要特征遗漏。因此要引导学生有目的地观察。如人教版一年级上册“9加几”一课中，探索9加几计算得数的规律时，9+1=10，9+2=11，9+3=12，9+4=13，9+5=14，9+6=15，9+7=16，9+8=17，9+9=18，若直接让学生观察，发现了什么？他们的回答一般是“都是9加几”“第二个加数越来越大，和也越来越大”。他们回答的观察结果是正确的，但却不是我们要的关键点。这时要明确地引导学生观察“第二个加数”与“和的个位”，思考它们之间有什么关系，对应代数归纳观察的经验目标侧重于：教师引导观察9加几的加法算式中，第二个加数与和的个位，思考二者之间的关系。

小学生常常观察事物太表面化且无序，缺乏条理。问题提出后，他随意一看，就轻易地下结论，或是感觉无从下手。在数学教学过程中，要训练学生有序地观察。如探索“商随除数的变化而变化的规律”，在学生汇报结果之后，指引学生从上往下观察算式，被除数和除数发生了什么变化？商呢？再从下往上观察，你们又发现了什么？有条理地进行观察，思维变得有序有向，进而再要求他们能做到“异中求同”，通过观察，找到其中的共性与规律。同时也要求能“同中求异”，寻找到共性后，根据不同处，发现每一处的特性，探寻到背后的本质。掌握了事物的共性与本质，观察也就更加全面而有深度。相应代数归纳观察的经验目标是：学生通过有序观察，从变与不变中发现被除数、除数与商的变化特点。

二、注重“猜想”经验积累，尝试类比与突破

数学猜想可以促进学生多角度思维，加快大脑中表象形成，易抓住事物的本质特征，从而得出结论。猜想发散学生的思维，给予学生数学新知的发现机会，促使学生产生探究知识的欲望，提高观察、分析问题的能力，增强学生的创造力。猜想总与观察联系在一起。即便是伟大的科学家，也常常是从“猜想”开始。有时，猜想经验证，完成得很顺利，但常常需要再“检验猜想”，然后“修正猜想”，以此反复，直至得到一个更满意的猜想。

人教版五年级下册“2和5的倍数特征”这课，2、5的倍数的特征都跟倍数的个位有关，且学生低年级时对“2的倍数都是双数”已有感知，只要引导观察，给出实例，即可得出猜想。猜想并验证2的倍数特征后，就可将猜想方式类比迁移到5的倍数特征中。代数归纳的猜想经验目标侧重于：学生在观察的基础上，寻找一般属性，猜想2的倍数特征，再类比迁移猜想5的倍数特征。

而“3的倍数特征”的猜想经验目标侧重于：经历猜想，检验猜想，修正猜想的过程，直至得到更满意的猜想，积累猜想经验。2、5的倍数的特征都明显跟倍数的个位有关。但3的倍数特征不是，无法迁移猜想。不少学生一开始由于有2和5倍数特征的猜想经验，易迁移猜想“个位上是3、6、9的数，都是3的倍数”，然而计算验证，发现并不是。此时需要换个角度思考，反思问题，修正猜想，大胆突破。教师引导学生通过活动操作，将猜想的方向转移到“一个数各个位上的数之和”，学生在数学活动中经历“猜想，推翻猜想，再观察，再猜想”的过程，学生能大胆猜想，有方向地猜想，这节课重在学生能对自己的猜想进行检验，避免盲目猜想，能修正猜想，得出合理猜想。

三、注重“验证”经验积累，结合枚举与分析

数学验证并非结果的简单检验，而是以学生已有的数学知识、数学思维为依据，运用适当的方法进行检验与证明。“枚举归纳”和“科学归纳推理”是小学阶段重要的验证方法。枚举归纳，简而言之就是用大量的例子来证实猜想。但若枚举时只注重“量”而忽略了“质”，只注重了广泛的“发散”而忽略了典型的“提炼”，那么学生的思维水平就永远无法提升。教师适当地引导和点拨，引导学生全面举例，尽可能涉及更广的范围，举出更为特殊的例子。“科学归纳推理”是小学生特别是中、高年级学生达到数学实质理解、从具体思维逐步过渡到抽象思维的重要的推理形式。科学归纳推理以科学分析为主要依据，要求学习者对每一例证都要理解对象与其属性间的必然联系，这就促使学生要调动认知结构中较稳固的原有观念来同化这些肯定例证。

低年级学生更多采用枚举归纳。学生全面举例，尽可能涉及更广的范围，举出更为特殊的例子。根据学生数学知识的学习情况，举例可以从一位数到两位数、三位数等。从整数到小数、分数。教师有意识地引领，将学生的视角引向各个地方，所举的例子思维含量越来越高。举的例子既要全面，又要特殊。如0，常常会是特殊的那个数，举例时不能漏。因我们无法穷尽所有符合“加法交换律”的等式，所以在收集了大量的正例之后，还要让学生尝试去寻找不符合此规律的等式。当学生找不到反例后，才能验证猜想。因而学生运用枚举归纳法验证时，制定经验目标，根据学生的数学知识水平，学生能全面枚举，有特例，想反例。

随着学生数学思维水平逐渐提升，将枚举与分析有效结合，学生对定律、规律的理解会更加深刻。如“加法交换律”一课，先让学生大量枚举，可以是一位数，还可以是两位数或三位数等。不仅是整数，还可以是小数、分数。再给学生提供交换加数和不变的生活情境，“从学校到图书馆是400米，图书馆到明明家是560米，明明家到学校的距离是多少？”让学生根据列出的算式思考明明从家到学校应该怎么走，学生列出加法算式，再推断出：变的是行走的方向，不变的是路程的总和。这样的分析过程，意在丰富学生对加法交换律在现实生活中意义的理解。验证经验目标着重于学生经历全面枚举与实例的分析推理，驗证交换两个加数，和不变。

四、注重“概括”经验积累，重视严谨与规范

小学数学概括能力是指将多种或众多的数学知识进行相应的概括，进而探求出能够反应数学知识本身的特点、发展规律以及内部联系的数学细微能力。

数学知识内容丰富，应用广泛。只有把所学的数学知识本质联系起来，才能以不变应万变。概括有助于学生更好地掌握知识。教师不能仅仅满足于学生表面上对所学内容的理解，还应该重视组织学生对所学内容进行提升，通过结论的概括来帮助学生更加到位地理解所学的数学知识。同时概括能力也需要积累。数学作为一种语言而存在时，它就是数学思维与数学表达的桥梁。

学生运用数学语言精准、简洁地表达自己的思考过程与结果，这不仅有助于提升学生的数学语言表达能力，还能使学生思维更加有条理性和逻辑性。低年级学生以数学语言表达为主，代数归纳经验目标侧重于：学生自主概括，合作探讨，交流概括，教师引导语言精炼。概括时可能遇到有特例的情况，如“商的变化规律”的概括可以迁移运用“积的变化规律”的概括经验。但由于0是不能做除数的，在概括时，教师点拨强调0除外。教师要引导学生规范数学语言，完整表述，强调特例。这课的概括目标是：学生迁移概括，教师点拨特例，规范数学语言。

中高年级的学生渐渐有符号化思想，此时代数概括除了用数学语言描述，还能用简洁的符号语言表示。如“加法交换律”，在学生用数学语言概括加法交换律后，教师继续引导：“能不能用更简洁的数学方式来表示这句话？”学生会尝试用图形、符号、字母等。经历这个过程，学生在数学活动中学会符号表达，体会到数学符号语言的简洁性。思考图形或字母可以表示的数，学生能进一步体会符号表征的概括性，也渗透了代数思想。制定概括目标：学生能用语言描述加法交换律的条件与结论，会用含有字母的式子表示加法交换律。

数学活动经验来源于活动，又运用于活动，需要长期不断的积累。因此，教师要有效地制定代数归纳活动经验目标，要关注代数归纳活动的观察发现，找准共性与特性;要让学生大胆猜想，尝试类比与突破;要让学生结合枚举与分析，全面验证;要让学生精炼概括，注重严谨与规范。这样，便能引领学生有效地开展代数归纳活动。

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