北京 王长友

解析几何综合问题是高中数学教学的重点，同时是学生学习的难点，更是高考考查的重要载体，本文对学生在2020年北京高考数学解析几何大题中的完成情况、未完成原因等事实基础上进行教学思考，希望通过对学生存在的问题进行分析，从而改进教师的日常教学，建立 “追根溯源，关注数学本质”的教学基石.

一、典型问题再现

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(2)当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为y=k(x+4)，易知斜率k存在；设M(x1,y1),N(x2,y2),P(-4,yP),Q(-4,yQ).

方法二：同方法一的前半部分，即

方法三：将原问题转化为“过点A作两条直线AM,AN与椭圆交于M,N两点，且满足B,M,N三点共线”.

设直线AM的方程为y+1=m(x+2)，直线AN的方程为y+1=n(x+2)，易知m,n存在且m≠0,n≠0,m≠n.设M(x1,y1),N(x2,y2),P(-4,yP),Q(-4,yQ).

令x=-4，则yP=-2m-1,yQ=-2n-1，

化简并整理得m2-n2+m-n=0即(m-n)(m+n+

1)=0因为m≠n，所以m+n=-1，

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)是否存在常数λ，当直线l变动时，总有k1=λk2成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.

方法一：由(Ⅰ)知,A(-2,0),B(2,0)，当直线l的斜率不存在时，即直线l的方程为x=1．

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x-1),

C(x1,y1)，D(x2,y2)．

方法二：设C(x1,y1)，D(x2,y2)，直线lAC:y=k1(x+2),直线lBD:y=k2(x-2)，易知k1,k2存在且都不等于0.

12) = 0，

方法三：①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1．

②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x-1)，显然k≠0，C(x1,y1)，D(x2,y2)．

方法四：①当直线l的斜率不存在时，同方法三；

②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x-1)，显然k≠0，C(x1,y1)，D(x2,y2)．

整理得 4(1-λ2)-2(1+λ2)(x1+x2)+(1-λ2)x1x2=0，

通过对比就会发现，两个问题研究的方法基本如出一辙，而例2是作者在教学中重点讲解的问题，但是在高考中部分学生还是未能很好地顺利完成，引人思考.

二、学生困难与剖析

通过调研部分未能整体完成此题的学生，发现基本困难如下：

【困难4】学生在实际运算中只求得yP=

【困难5】对于方法三学生的问题有：未想到上述方法三中的转化研究对象，想到转化但是担心直线与椭圆方程联立时运算量大不敢实施，或部分实施后未能明确运算方向为研究m,n的关系，在实施过程中出现运算错误造成无法完成等.

进一步对学生困难进行挖掘、分析，可以发现学生困难的本质，一方面学生未能用数形结合思想、运动变化观点、特殊与一般的关系，主动探究解决问题的思路；另一方面学生对解析几何中运算的方向、策略，运算的方法与经验等不理解，缺少理性思考与感悟.因此，可以得出的基本结论为：很多学生的解析几何学习是“习惯在高度模仿水平”，未能理解解析几何学习的本质.

三、教学思考

分析高考真题与学情，结合教育部关于高考的主要任务为：立德树人“一堂课”、服务选才“一把尺”、引导教学“一面旗”的要求，教师的日常教学需要进行深刻反思，在教学中抓住数学本质、落实学科素养的培养.

(一)解析几何教学的本质与学业要求

教师要明确新课标指出的解析几何是“研究对象是几何图形，研究方法主要是代数方法”的教学本质，认真研读新课标关于解析几何的学业要求，即“根据具体问题情境的特点，建立平面直角坐标系；根据几何问题和图形的特点，用代数语言把几何问题转化为代数问题；根据对几何问题(图形)的分析，探索解决问题的思路；运用代数方法得到结论”.

(二)思考

按照课标要求，对比学生在上述解答问题中出现的困难，就清晰地指明了教师在教学中的改进方向.

1.教师要重视基础知识、基本技能、基本思想与方法、基本学习经验的生成过程

在教学过程中，教师要敢于给学生思维的时间与空间，充分体现学生探究、困惑、优化、解惑的过程，只有充实过程，才能感悟深刻.教师在教学中应该引导学生充分理解：解析几何综合问题是在运动变化过程中研究变化规律(确定性质、特殊规律等)，因此抓住研究对象间的联系合理转化为代数关系是核心，有效进行运算、解决问题是落脚点，教师要科学、有层次的设计问题，进而引导学生逐步建立良好的研究解析几何问题的思维过程，即

简而言之，分为三个过程，即学生认识与体会、理解与正确操作、掌握与感悟本质.

2.教师要系统规划与细化解析几何运算素养提升的途径

解析几何研究的运算对象较多，教学中需要引导学生从几何、代数等基本关系入手，寻找连接点，合理设计与选择运算方法， “算什么、怎么算”是解析几何运算素养落地的核心.解析几何的运算分为两方面，一方面是常规程序化运算(如直线与曲线方程联立、共线、垂直、平行等位置关系的求解等)，另一方面为结合问题情境自主设计运算.程序化运算是基础，要指导学生落实细节并养成良好的运算习惯(如例1运算过程中随时化简的习惯等)；自主设计是目标，要充分理解运算的本质是逻辑推理分析，要让学生学会定性与定量的结合，关注定性分析明方向、关注定量运算求准确；要有时刻进行化繁为简的意识；要有效进行整体代换，重视运算结构；大胆实施估算与精算的有机结合等.

3.教师要引导学生主动思考与激发学生的创造性

回顾例1中的北京高考试题和例2的模拟题，进一步分析会发现问题的共性为：与椭圆有关的两条直线的斜率具备特殊关系(如和是定值、差是定值、积是定值、商是定值)时椭圆具有的一些性质.

教师要有意识的设计问题刺激学生.进一步思考就会发现问题表面上是在研究图形的几何性质，深层次是数学的逻辑关系使然，是引导学生学会尝试“用数学的眼光观察世界、用数学的思维思考世界、用数学的语言表达世界”的数学教育价值，同时学生也能体会到数学的逻辑美、奇异美.只要教师在教学中引领学生主动思考，就会激发学生的创造性.