唐华兵

教学设计

（一）课时教学内容

1.在创设的问题情境中，引导学生发现余弦定理的内容，推证余弦定理;

2.运用余弦定理解决解三角形的相关问题.

（二）课时教学目标

1.经历从问题情境中抽象出数学模型的过程，发展学生的数学建模能力。

2.经历体会余弦定理的发现和推导过程，发展学生的逻辑推理能力。

3.经历余弦定理的简单应用，数学运算和思维能力。

（三）教学重点与难点

教学重点是：探究余弦定理并会简单应用。

教学难点是：探究并证明余弦定理。

（四）教学过程设计

1.余弦定理的探究

师：同学们，我们在高速公路上时，经常会通过隧道，那么，同学们知道隧道是怎么开挖的吗？下面，我们来看一段隧道开挖的动画模拟。（播放视频）

情境导入：如图，某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道的宽度。工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B、C的距离，其中AB=3 km，AC=1 km，再利用经纬仪测出∠BAC=150°，请问BC是多少千米？

师：如果∠BAC=90°，我们可以利用勾股定理很快的求出来，但是现在∠BAC=150°，我们该怎么求呢？

问题1.（1）在 中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知边b，c和夹角A，能求出第三边a吗？

生：能

追问1：为什么？

生：因为我们初中学过SAS判断三角形全等的方法，这就告诉我们已知两边及其夹角这个三角形是唯一确定的，所以第三边也是确定的。

追问2：那么如何利用 和A表示边 呢？请同学们联系已经学过的知识，进行分组合作探究，寻求解决方法.

学生活动：小组合作探究，积极参与讨论，共同寻找解决方案，展示研究成果.

设计意图：分组合作探究，培养了学生的团队合作意识.联系已经学过的知识解决该问题，学生可以多角度思考去寻找解决问题的方法，起到训练知识迁移使用的能力.通过上台展示，培养学生的学习自信力.通过解题过程的完善，培养学生数学思维的严谨性.问题的解决使余弦定理的生成比较自然.这里，教师重在启发学生的思考.考虑到教科书中采用向量法的意义和作用，因此教师可以作两手准备：若学生中有提出用向量法探究的，则协商并确定选用向量方法探究余弦定理是十分自然的.若学生中没有提出用向量法探究的，则教师可以启发学生思考：是否可以利用向量法探究（线段长与向量的模建立联系）.

方法一：（几何法）通过作辅助线将三角形分割为特殊三角形---直角三角形，构造出直角三角形后利用勾股定理建立等量关系.本方法要注意对 进行讨论.

师：非常好，同学们可以利用学过的向量知识来解决新的问题，真是学以致用啊！

师生活动：教师引导学生关注：我们的研究目标是用b，c和A表示a，联想到数量积的性质 ，可以考虑利用向量 进行相关的数量积运算得到结果”.

设计意图：这是推证过程中的难点.设计这个问题，旨在引导学生不仅知道“是什么”，而且更应当知道“为什么”.

师：同学们，你们刚才除了用这种方法来证明余弦定理以外，还有什么其他方法证明余弦定理吗？

生：我们还可以建立直角坐标系

师：非常好，说说具体过程

方法三、（坐标法）

设计意图：得出余弦定理完整的形式.

师：三个等式中都含有余弦，所以三个式子合在一起叫余弦定理.这三个等式是余弦定理的符号语言，那么其文字语言该怎样叙述呢？

提问某学生，學生回答之后，教师结合式子叙述余弦定理的文字语言.

余弦定理文字表述：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.

设计意图：学习余弦定理的符号语言和文字语言，掌握余弦定理的结构特征，明确余弦定理的用途.

2.余弦定理与勾股定理的关系

师：引导学生发现余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例

问题3.余弦定理与之前学过的关于三角形的什么定理在形式上非常相近？

学生在教师的启发下，发现与勾股定理相近，自主分析并总结出两个定理之间的关系. 为直角时， ， ，是勾股定理的形式.这说明勾股定理是余弦定理的特殊情况，余弦定理是勾股定理的推广.

师生活动：教师引导学生分析，勾股定理指出了直角三角形中两条直角边及其所夹的直角与斜边之间的关系，而余弦定理揭示了一般三角形中任意两边及其夹角与第三边之间的关系，其根本的差异在于夹角.

设计意图：启发学生从余弦定理中抽象出勾股定理，进而辨析勾股定理与余弦定理的关系.通过余弦定理与勾股定理关系的分析，引发学生提炼蕴含在问题中的“特殊与一般”的数学思想，帮助学生树立辩证观点.

3.解三角形：一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形

4.课本例5的教学（即课件的例1）

师生活动：由例1做铺垫，例2由学生自己在下面完成，然后用学生机上传结果，由于这道题在求角B，C的余弦值时候有多种方法，既可以用余弦定理的推论来求，也可以用二倍角公式来求，正好可以展示他们不同的思路。

师生活动：由例1，例2做铺垫由学生自己在下面独立思考，教师实时引导，进一步引导学生从方程的角度理解余弦定理，从而解决问题。

设计意图：进一步从方程得角度理解余弦定理，加强对余弦定理得理解和应用。培养学生数据分析，逻辑推理等核心素养。

5.课堂小结

教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：

（1）余弦定理是什么？如何用向量方法推导余弦定理？

（2）余弦定理的推论是什么？

（3）余弦定理实质上是勾股定理的推广;

（4）运用余弦定理及其推论可以解决哪些解三角形的问题？

设计意图：通过师生的共同小结，发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识，也能培养学生的归纳和概括能力.

（六）、教学反思

1、余弦定理是解三角形的重要依据，要给予足够重视。本节内容安排两节课适宜。第一节，余弦定理的引出、证明和简单应用;第二节复习定理内容，加强定理的应用。

2、当已知两边及一边对角需要求第三边时，可利用方程的思想，引出含第三边为未知量的方程，间接利用余弦定理解决问题，此时应注意解的不唯一性。但是这个问题在本节课讲给学生，学生不易理解，可以放在第二课时处理。

3、本节课的重点首先是定理的证明，其次才是定理的应用。我们传统的定理概念教学往往采取的是“掐头去尾烧中断”的方法，忽视了定理、概念的形成过程，只是一味的教给学生定理概念的结论或公式，让学生通过大量的题目去套用这些结论或形式，大搞题海战术，加重了学生的负担，效果很差。学生根本没有掌握住这些定理、概念的形成过程，不能明白知识的来龙去脉，怎么会灵活的应用呢？事实上已经证明，这种生搬硬套、死记硬背式的教学方法和学习方法已经不能适应新课标教育的教学理念。新课标课程倡导：强调过程，重视学生探索新知识的经历和获得的新知的体会，不能再让教学脱离学生的内心感受，把“发现、探究知识”的权利还给学生。

4、本节课的教学过程重视学生探究知识的过程，突出了以教师为主导，学生为主体的教学理念。教师通过提供一些可供学生研究的素材，引导学生自己去研究問题，探究问题的结论。在这个过程中，教师应该做到“收放有度”，即：不能收的太紧，剥夺了学生独立思考、合作学习的意识，更不能采取“放羊式”的教学，对于学生在探究问题中出现的困惑置之不理。

5、合理的应用多媒体教学，起到画龙点睛、提高效率、增强学生对问题感官认识的效果，不能让教师成为多媒体的奴隶。滥用多媒体教学的后果是将学生上课时的“眼到、手到、口到”变为机械的“眼到”，学生看了一节课的“电影”，没有充足的时间去思考、练习、巩固，课后会很快将所学的知识忘得一干二净。

6、在实际的教学中，发现学生对于所学的知识（例如向量）不能很好的应用，学生的数学思想（如分类讨论、数形结合）也不能灵活的应用，这在以后的教学中还应该加强。从授课的实际效果来看，能较好的完成本节课的教学任务。后一阶段的教学主要应该加强师生的课堂双边活动，处理好教与学的关系，充分调动学生的课堂参与意识，鼓励学生积极大胆的发言，学生主动暴露自己的问题，教师及时的加以纠正，使教学更具针对性。