彭艳梅　侯小华

摘  要 网络画板功能完善，操作便捷，可以为学生提供直观的感知，解决许多数学教学中的难题，有利于学生的学习。利用网络画板进行“双曲线的简单几何性质”的教学，可以使得教学更加直观，帮助学生更好地理解和掌握有关知识内容。

关键词 网络画板;高中数学;双曲线的简单几何性质

中图分类号：G633.6    文献标识码：B

文章编号：1671-489X（2020）15-0040-03

1 前言

网络画板是由张景中院士和其团队在超级画板的基础上开发的国内第一款互联网环境下的理科教学工具。网络画板具有支持多终端、跨平台、操作方便、储存安全等特点，其智能画笔作图方便快捷，功能也更加完善，可以进行动态演示、计算和任意移动等[1]。网络画板可以让抽象的知识变得更加直观，计算更加准确，有效确保数学的严谨性。因此，网络画板受到越来越多数学教师的喜爱，在中学教学中应用日趋广泛。

“双曲线的简单几何性质”从几何和代数两方面研究双曲线的范围、对称性、离心率等内容。有的内容比较抽象，学生难以直观感知，容易与椭圆的简单几何性质混淆。在教学过程中利用网络画板，一方面，教师可以让学生直观地理解知识的产生过程;另一方面，学生通过动手演示或者观察教师的演示，可以对知识产生深刻印象，从而能够很好地理解和掌握“双曲线的简单几何性质”。

2 教学过程

回顾旧知  让学生简单回顾双曲线的标准方程和椭圆的简单几何性质后，引出本节课的课题——“双曲线的简单几何性质”。

探究双曲线的范围  问题：观察双曲线，我们可以知道它的范围，同学们能否从代数的角度出发，得到双曲线的范围？学生通过将双曲线标准方程化为，知，即x2≥a2，所以，双曲线变量x的取值范围是x≥a或x≤-a。随后，教师借助网络画板做动态演示，将a作为变量，取值从1～6，让学生观察当a变化时，双曲线的范围也随a变化。

探究双曲线的对称性  问题：我们从双曲线的图像可以知道它是个对称图形，同学们能否试着类比研究椭圆对称性的方式，得到双曲线的对称性？学生讨论后得到：双曲线是关于x轴、y轴和原点对称的。以关于x轴为例，在双曲线上任取一点A（x，y），那么关于x轴的对称点为A′（x，-y），也满足双曲线的标准方程，因此，双曲线关于x轴对称。用同样的方法可以证明双曲线关于y轴和关于原点对称。

教师再用网络画板进行验证：任取双曲线上的一点，将A作为双曲线上的半自由点，以x轴为对称轴，以A为对称中心，让A在双曲线上运动，可以看到A的对称点A′也在双曲线上。用同样的方式可以验证双曲线关于y轴和原点对称（图1）。

探究双曲线的顶点  问题：以焦点在x轴为例，类比椭圆探究顶点的方式，同学们能否从代数角度求得双曲线的顶点？学生通过计算得到：令y=0，得x=±a，因此，双曲线与x轴有两个交点A1（-a，0），A2（a，0）。但是，令x=0，得y2=-b2，这个方程没有实数根，说明双曲线和y轴没有交点。

探究双曲线的渐近线

问题1：在作的图像时，同学们遇到了什么问题？学生列表描点后发现：顶点和附近的点能够准确地画出来，但是当双曲线向远处延伸时，就不能准确地画出。

问题2：同学们能通过对进行变形得到它的渐近线吗？通过教师引导得到：以第一象限为例，变形得到，即，也就是说双曲线的图像恒在直线的下方，且永不相交。根據双曲线的对称性，得到双曲线与直线无限接近，也就是说是双曲线的渐近线。

此时，教师利用网络画板验证：作出双曲线1和的图像;在第一象限内取双曲线的一点A，过A做直线的垂线，垂足为B;连接线段AB，计算线段AB的长度;让A在第一象限运动，发现当A向右上方运动时，线段AB无限接近于0，但永远不等于0（图2）。

问题3：同学们能得到双曲线的渐近线是什么吗？教师引导学生观察渐近线与a，b的关系，得到双曲线的渐近线是直线。并且，教师可以将a、b作为变量，利用网络画板进行动态验证。

问题4：同学们能试着证明双曲线的渐近线是吗？学生讨论后，得到：以第一象限为例，设D（x，y）是双曲线第一象限内的点，那么D到直线的距离。当x逐渐增大时，就逐渐减少并且无限接近于零，也就是点D无限接近于直线[2]。同理，其他象限内也可得到结论：直线是双曲线的渐近线。

探究双曲线的离心率

问题1：观察双曲线，，的图像，这三个图像在形状上有什么不同？教师通过网络画板作出相应的图像，学生通过对比得到：图像越来越扁。

问题2：那么双曲线的图像受什么影响呢？教师利用网络画板引导学生探究：首先，固定b=2，将a作为变量，取值范围为1～6，作出双曲线图像，同时改变a的大小，让学生观察双曲线的形状随a的变化情况;其次，固定a=3，将b作为变量，取值范围为1～6，作出双曲线图像，同时改变b的大小，让学生观察双曲线的形状随b的改变情况（分别如图3、图4所示）。学生通过观察得到：当a变大时，双曲线越来越扁;当b变大时，双曲线越来越宽。

问题3：a、b都能影响双曲线的形状，那么能否统一用同一个式子表示呢？教师引导学生类比探究椭圆离心率的表示方式，得到：可以用b/a的比值来表示。教师利用网络画板给学生直观感知：将a、b作为变量，取值范围都为1～6，计算b/a的值，观察b/a的值对双曲线形状的影响。

问题4：c/a和c/b的值对双曲线的形状有怎样的影响呢？教师通过网络画板演示：首先，将a，c作为变量，a的取值为1～6，c的取值为2～8，计算c/a值，在改变a，c值的时候要保证c>a，让学生观察c/a的值对双曲线形状的影响;其次，将b，c作为变量，b的取值为1～6，c的取值为2～8，计算c/b的值，在改变b，c值的时候要保证c>b，让学生观察c/b的值对双曲线形状的影响（图5）。

学生通过观察得到：c/a越大，双曲线越宽;c/a越小，双曲线越扁;c/b越大，双曲线越扁;c/b越小，双曲线越宽。

问题5：既然这些比值都可以决定双曲线的扁平程度，为什么用c/a来表示离心率呢？教师启发学生得到：因为a、c是初始量，而且c/a可以形象地理解为焦点离开中心的程度，所以把c/a叫作离心率;并且通过双曲线的标准方程可知，双曲线的离心率c/a>1，而椭圆的离心率c/a<1，这是这两个圆锥曲线的不同点之一。

3 教学反思

“雙曲线的简单几何性质”是高中圆锥曲线内容的重难点，与“椭圆的简单几何性质”有许多相似之处，很多学生容易对这两部分内容产生混淆。因此，在教学中充分讲清楚每个知识点是十分关键的。数形结合是学习数学的重要方法，在学习“双曲线的简单几何性质”时，借助网络画板利用数形结合的方法可以很好地给予学生直观感知，有利于学生的理解。

在“双曲线的简单几何性质”教学中，利用网络画板对学生得到的猜想或者结论进行验证，从代数方面培养学生的逻辑推理能力，从几何方面给学生直观的感知，加深学生的理解。例如，虽然学生能够从代数的角度证明双曲线的对称性，得到双曲线的渐近线，但是利用网络画板的动态功能能够给学生直观的感知，对他们的理解、记忆能起到很好的促进作用。

在“双曲线的简单几何性质”教学中，利用网络画板引导学生探究，发现数学规律。离心率这部分内容是学生学习的一个重难点，容易与椭圆的离心率混淆。在教学过程中以网络画板作为帮助学生探讨双曲线形状的工具，能够让学生直观地感知a、b、c以及它们的比值对双曲线形状的影响，有助于学生的理解。

参考文献

[1]马梦荣，雍进军，张加林，等.网络画板在中学数学教学中的应用[J].贵州师范学院学报，2018（12）：80-84.

[2]陈荣桂，王建鹏.体现高中数学教育价值的《双曲线的渐近线探究》教学设计[J].数学教育研究，2015（5）：35-38.

*基金项目：山东省研究生导师指导能力提升项目（课题编号SDYY18139）。

作者：彭艳梅，鲁东大学数学与统计科学学院学科教学（数学）专业，在读教育硕士;侯小华，鲁东大学教师教育学院，副教授，研究方向为数学教育信息技术（264025）。