薛安定

[摘  要] 立体几何动态问题是高考的热点题型，其中含有大量的数形信息，问题解析需要把握动态成因，关注图形变化过程，合理进行化动为静降维处理. 文章对动态问题归类探究，解析问题的突破方法，提出相应的教学建议.

[关键词] 立体几何;动态;角度;距离;翻折

问题综述

立体几何中的动态问题是高考的经典问题之一，由于问题中含有一些“不确定”因素，使得问题具有动态属性，例如联系动点、融合图形翻折、平移等. 问题中的“不确定性”往往会对学生解析问题造成一定困难，需要采用对应的策略来处理. 一般立体几何动态问题中隐含着一些规律性内容，可将其作为打开解题突破口的关键条件，即采用化“动”为“静”的转化策略. 解析时应关注变化过程，总结变化规律，运用数学思想，合理引入参数，适度代数推理，下面结合实例探究.

类型探究

立体几何动态问题的类型较为多样，从问题形式来看主要有角度类、距离类、翻折类等，下面对其进行深入探究.

类型一：动态几何中的角度问题

立体几何中角度问题是常见问题，涉及异面直线所成角、线面所成角、二面角等，若加入动态属性，其求解难度会变大. 求解此类问题往往采用空间向量法，常利用点坐标参数来设定动态因素，以实现静态转化.

例1：ABCD-A■B■C■D■为正方体，点E是侧面ADD■A■内的一个动点，已知B■E∥平面BDC■，如图1所示，设直线B■E与直线AB所成角为θ，则sinθ的最小值为_____.

解析：动点是形成动态几何的因素，求异面直线所成角的正弦值的最小值，同样可以采用空间向量法，引入坐标参数来实现动态问题的静态转化.

以点D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD■为z轴建立空间直角坐标系，如图2所示. 设正方体的棱长为1，点E（a，0，c）（其中0≤a≤1，0≤c≤1），则B■（1，1，1），B（1，1，0），D（0，0，0），C■（0，1，1），则可推知向量■=（a-1，-1，c-1），■=（1，1，0），■=（0，1，1），■=（0，1，0）.

设平面DBC■的法向量为n=（x，y，z），可推知n=（1，-1，1）. cosθ=■=■. 又知B■E∥平面BDC■，则■·n=0，可解得a+c=1，可推知ac≤■■=■，则■≤■，sinθ=■=■≥■，a=c时等号成立，且满足条件，所以sinθ的最小值为■.

方法点睛：上述采用了空间向量法求异面直线所成角的正弦值的最小值，并利用坐标参数实现了动点的坐标具体化，促进了动态问题的静态转化. 因此对于涉及动点的立体几何问题，可以引入坐标参数来简化问题.

类型二：动态几何中的距离问题

求空间距离是立体几何的常见问题类型，同样也可从动态角度来考查距离求解的方法. 往往动点、动直线是造成问题动态的常见因素，具体求解时需首先确定动态元素的运动轨迹，然后进行静态转化.

例2：正方体ABCD-A■B■C■D■的棱长为4，点H是棱长AA■上的一点，且HA■=1，在侧面BCC■B■内作一边长为1的正方形EFGC■，点P是侧面BCC■B■内的一个动点. 已知点P到平面CDD■C■的距离与线段PF的长相等，当点P运动时，HP的最小值为____________.

解析：本题目同样是因动点造成动态变化，解析时需要把握其中的距离关系，可以采用空间向量法，也可以建立平面坐标系来推导点P的运动轨迹，进而确定相应的线段最值.

在棱BB■上取一点K，使得B■K=1，可知HK垂直于平面BCC■B■，连接PK，可知HP2=16+PK2. 在平面BCC■B■上建立平面坐标系，设定G为原点，GC■所在直线为x轴，GF所在直线为y轴，如图4所示. 设点P的坐标为（x，y）. 由题设条件可知点P的轨迹方程为x2=2y-1（其中x∈[-3，1]，y∈■，4），轨迹为抛物线. 又可得点K的坐标为（0，4），则PK2=y2-6y+15，分析可知当y=3时，PK2可取得最小值6，所以HP的最小值为■.

方法点睛：求解时采用了平面坐标系法，根据题设条件确定了动点的轨迹方程，然后建立了关于线段长的函数，利用函数的性质确定了最终的答案. 因此对于轨迹特征明确的动态几何问题可以从构建轨迹方程入手.

类型三：动态几何中的翻折问题

翻折、旋转是几何运动的重要方式，利用翻折和旋转同样可以构建动态几何，解析问题时需要关注翻折和旋转的运动过程，充分把握其特性，挖掘其中的隐含规律来构建相应的模型.

例3：ABCD为平面内的四边形，已知AD=AB=■，CD=CB=■，AD⊥AB. 现将△ABD沿着对角线BD进行翻折，得到了△A′BD. 分析在△ABD折起至平面△A′BD的过程中，直线A′C与平面BCD所成最大角的正切值为____________.

解析：连接AC，与BD的交点设为点E，则点A′的轨迹是一段以点E为圆心，以A′E长为半径的圆弧. 轨迹确定，故可以在动点轨迹所在平面内进行分析.

在四边形ABCD中，可求得BD=2，BE=ED=1，EA=1，EC=2. 探究动点A′运动轨迹所在平面，直线A′C与平面BCD所成角的平面角为∠A′CE，显然当A′C与动点的轨迹圆相切时所成角最大，此时在Rt△A′CE中有EA=EA′=1，EC=2，所以∠A′CE=30°，则正切值tan30°=■.

方法点睛：求解时采用了平面轨迹法，即确定翻折过程关键点的轨迹，然后从平面视角来直接判断其最值情形. 问题解析充分把握翻折过程中的特殊位置，故求解翻折類立体几何问题时可采用“轨迹转化，特殊位置分析”的思路.

教学建议

上述对立体几何常见的动态问题的特点、解析方法进行了剖析，充分掌握可以显著提升解题能力，下面结合教学实践提出两点建议.

1. 准确定位动态成因，合理开展转化降维

立体几何动态问题的类型较多，上述所呈现的是其中较为常见的三种，形成动态问题的因素涉及动点、动直线、翻折等，解析问题的关键是准确定位动态成因，确定动态因素的轨迹或变化过程，为后续的降维转化提供参考. 对于立体几何动态问题一般采用几何降维和化动为静的转化方式，其中降维处理有多种方式，可提取动点轨迹所在平面、关注其中的特殊位置、利用二面角构建方法等，解析时需根据问题特点确定转化降维方法. 而在教学中应引导学生深入剖析立体几何动态问题的本质，结合化动为静的策略来确定降维方法，形成该类问题的通性通法. 同时注重培养学生的创新思维，提升学生的思维灵活性.

2. 掌握数形破解策略，发展数学核心素养

立体几何动态问题常涉及距离、三角函数值、体积等知识，由于动态因素的存在，在解析时需要根据其动态情形来解析位置，其中必然需要利用方程、函数、不等式等代数知识，因此数形解析方法是该类问题常用的破解策略，需要重点掌握. 例如例2求距离问题时先结合动点轨迹建立了相应的函数方程，然后结合运动范围及函数性质确定了最终答案. 需要注意的是数形解析策略同样是一种数学思想，在教学中需要引导学生掌握该思想的内涵，掌握数形思想解析问题的方法技巧，教学中可以结合具体教学内容，让学生体验数形结合思想的应用过程，逐步发展学生的数学素养.