王宏涛， 蒋汶松， 蒋清泽， 张 强， 戴 宁

(南京航空航天大学 机电学院，江苏 南京 210016)

1 引 言

机械臂轨迹跟踪控制是运用控制器对机械臂各关节施加控制力矩来实现对关节轨迹的跟踪，使得机械臂在实际运动过程中的关节角位移与控制器发出的关节角位移相吻合，最终使机械臂末端完成指定的运动轨迹[1]。由于机械臂自身的物理参数受负载变化的影响以及关节间的耦合性等，使得建立机械臂的精确数学模型存在不确定性，这在一定程度上明显影响了机械臂的实际控制效果[2]。因此，机械臂轨迹跟踪控制的目标是以较低的偏差对期望关节轨迹进行跟踪[3]。

模糊控制方法不依赖被控对象的精确数学模型，尤其适合机械臂轨迹跟踪控制。在设计模糊控制器时，导致模糊控制器精度不理想的主要原因是：控制器的自身结构缺乏积分环节和控制规则数量受控制系统运算量、实时性以及响应速度等的限制[4]。为此，相关学者提出了2种解决方案：一种是将模糊控制方法与其他智能控制方法、智能算法和数学方法相结合用于解决工程应用问题，例如与滑模变结构控制、神经网络、比例-积分-微分(proportion-integral-derivative，PID)控制、遗传算法、计算力矩控制、小波包变换等等相结合[5～8]。另一种是进一步发展模糊控制理论，李洪兴等提出了变论域模糊控制方法[9，10]。变论域模糊控制算法的核心思想是，通过一组非线性伸缩因子在线调节论域，通过论域随偏差及偏差变化率的变化而变化来减少初始控制规则的数量，并使论域划分在期望控制点附近变得非常精细，实现自适应与高精度的控制目的。由此可见，设计合适的伸缩因子是变论域模糊控制器设计的关键环节。

伸缩因子的类型主要有比例型、积分型和指数型[11]，近几年在机械工程领域应用变论域模糊控制器解决实际问题的代表性工作主要有：龙祖强[12]设计了作用于双输入单输出论域的指数型伸缩因子，运用变论域模糊控制方法实现了数控车床伺服系统的定位控制，提高了工件定位精度；万敏等[13]则将基于双输入单输出论域的指数型伸缩因子的变论域模糊控制器首次应用于两关节机械臂的轨迹跟踪控制。

本文设计了一种具有比例-指数混合型(简称混合型)伸缩因子的轨迹跟踪变论域模糊控制器；基于相平面的离线轨迹规划算法获取了机械臂笛卡尔空间的期望关节轨迹；应用所设计的控制器实现了三关节机械臂轨迹跟踪控制仿真；分析了轨迹跟踪控制的误差，并与文献[13]提出的基于指数型伸缩因子的变论域模糊控制器的控制效果进行了对比分析。

2 机械臂动力学方程

由文献[14]可知，忽略摩擦力以及机械臂末端负载，机械臂动力学方程表达形式如下：

(1)

机械臂动力学方程描述了力矩与各关节角度、角速度以及角加速度之间的关系，根据动力学方程完成机械臂轨迹跟踪控制算法的设计，运行该算法获得各关节实时采样输出的仿真关节角度，并与期望关节角度进行比较，两者的差值可以衡量所设计的轨迹跟踪控制算法的有效性，并进行轨迹跟踪误差分析。

3 机械臂轨迹跟踪的变论域模糊控制方法

以三关节机械臂的轨迹跟踪控制为例，根据机械臂动力学方程，设计了一种变论域模糊控制方法，其对应的控制系统结构如图1所示。

图1 三关节机械臂变论域模糊控制系统结构Fig.1 Structure draft of variable universe fuzzy control system for three-joint manipulator

图1中：各符号的下标n=1，2，3表示机械臂关节数量；qdn表示机械臂3个关节的期望关节角度；qn表示输出的3个关节的仿真关节角度；d/dt表示[d(qdn-qn)]/dt。图中虚线部分表示变论域模糊控制器，常数Ken和Kvn分别代表偏差和偏差变化率的量化因子；变量en和vn分别代表经过量化因子作用后的无量纲的关节角度偏差和关节角度偏差变化率；α1(en)定义为关节角度偏差的伸缩因子，α2(en,vn)定义为偏差变化率的伸缩因子，F(en,vn,un)是用于计算变量un值的函数；β(un)定义为输出力矩的伸缩因子；变量un表示无量纲的输出力矩；常数Kun称为变量un的比例因子；τn表示作用于机械臂3个关节的转矩。

将三关节机械臂的输入变量en和vn的模糊集取为{FD，FX，L，ZX，ZD}，即{负大，负小，零，正小，正大}；输出变量un的模糊集取为{FD，FZ，FX，L，ZX，ZZ，ZD}，即{负大，负中，负小，零，正小，正中，正大}；设计出如表1所示的具有25条控制规则的变论域模糊控制器规则表。

表1 模糊规则表Tab.1 Table of fuzzy rule

输入变量en、vn与输出变量un的隶属函数取三角形隶属函数。取量化因子Ke1=9，Ke2=14，Ke3=4；Kv1=7，Kv2=9，Kv3=3；取比例因子Ku1=7.5，Ku2=6，Ku3=5，采用强度转移模糊推理法和中心平均解模糊法确定模糊控制器表达式的形式[12]为：

(2)

4 变论域模糊控制器伸缩因子的设计

(3)

(4)

(5)

式中：E、V分别为输入变量en和vn的初始论域；U为输出变量un的初始论域；ρ取值为1左右；参数ε称为贴现因子，ε∈(0,1)；δ为充分小的正数。混合型伸缩因子相关参数值分别取：输入变量en和vn的初始论域E、V和输出变量un的初始论域U均定义为[-7，7]；ρ=1，ε=0.98，δ=0.002。

5 基于相平面的期望关节轨迹的获取

运用上述设计的三关节机械臂变论域模糊控制系统进行轨迹跟踪控制仿真时，需要先获得控制系统的输入qdn，即3个关节的期望关节角度。采用基于相平面的时间最优轨迹规划方法获得期望关节角度[15]。

一般情况下，存在不同的曲线方程描述同一条曲线，描述同一条曲线的不同曲线方程由方程间的参数变换联系起来。特别是在笛卡尔空间机械臂轨迹曲线取自身弧长s为参数进行弧长参数化后，利用机械臂的正、逆运动学分析方法，可以建立机械臂关节角度向量q与弧长s的映射关系F：

q=F(s)，s∈[0，sn]

(6)

式中：sn是笛卡尔空间机械臂轨迹曲线的总长度。

对于任意的单调递增二阶可微函数F均满足下述关系：

(7)

结合式(1)与(7)，可以得到：

(8)

式中：

(9)

三关节机械臂各关节转矩τn满足约束条件τn,min≤τn≤τn,max，由式(8)有：

(10)

以3个关节均为旋转关节的机械臂为例，其 D-H (Denavit-Hartenberg)参数见表2。

表2 三关节机械臂的D-H参数Tab.2 D-H parameters of three-joint manipulator

根据D-H参数选取如式(11)所示的笛卡尔空间轨迹，取弧长s为参数，可以建立如式(12)所示的弧长参数方程。

(11)

(12)

以机械臂末端走完式(12)轨迹所花时间最短为优化目标，最终得出三关节机械臂各个关节的轨迹。由于所获得的3个关节的轨迹是无法显式表达的非线性函数，所以可根据得出的各个关节的轨迹获取时间-关节角度序列，选取0.02 s的时间间隔进行一次采样，则每一个采样时间对应输出机械臂的一组3个关节的期望关节角度值，亦即为机械臂变论域模糊控制系统的输入qdn。

6 仿真与误差结果分析

运用MATLAB/Simulink仿真环境搭建了三关节机械臂变论域模糊控制仿真系统。设置仿真步长t=0.02 s，仿真总时长为0.4 s时，则机械臂各个关节均可获取21个采样时间-期望关节角度序列，因而亦可获得21个采样时间-笛卡尔空间轨迹点坐标序列，见表3。当设置仿真总时长为1.2 s时，可获得60个采样时间-笛卡尔空间轨迹点坐标序列，实现跟踪式(11)所表示的三关节机械臂笛卡尔空间轨迹的理想整圆。

为验证所提出的基于比例-指数混合型伸缩因子的变论域模糊控制器的控制效果，运用2个实验进行了对比分析。

表3 笛卡尔空间轨迹误差值Tab.3 Trajectory error value in cartesian space

实验1：将本文提出的比例-指数混合型伸缩因子与文献[13]提出的指数型伸缩因子的变论域模糊控制器分别应用于三关节机械臂关节角度轨迹跟踪控制仿真，得到如图2所示的关节角度输出响应曲线。图2(a)是关节1分别使用混合型伸缩因子与指数型伸缩因子的变论域模糊控制器跟踪机械臂期望关节轨迹所获得的关节角度的对比图；图2(b)、图2(c)分别为关节2和关节3的关节角度对比图。由图2(a)、图2(b)、图2(c)可见，与文献[13]基于指数型伸缩因子的变论域模糊控制器相比，使用本文所设计的混合型伸缩因子的变论域模糊控制器，机械臂各关节角度输出均无超调，响应速度更快。进一步将仿真步长取为t=0.002 s，使得使用指数型伸缩因子与混合型伸缩因子的控制器仿真控制机械臂从理想圆内某起始点开始能跟踪理想完整圆轨迹，所获得的笛卡尔空间仿真轨迹分别如图3(a)、图3(b)所示，显而易见在轨迹跟踪起始阶段，指数型伸缩因子的变论域模糊控制器的超调较大。

图2 关节角度输出响应曲线Fig.2 Response diagram of three joint angle output

图3 笛卡尔空间圆拟合轨迹Fig.3 Fitting cycle trajectory in cartesian space

图4 笛卡尔空间轨迹误差Fig.4 Trajectory error diagram in cartesian space

表3列出了分别使用指数型伸缩因子和混合型伸缩因子的变论域模糊控制方法进行机械臂轨迹跟踪控制时，前21个采样点的笛卡尔空间轨迹跟踪误差值。由图4和表3可见，与基于指数型伸缩因子的变论域模糊控制方法相比，本文所设计的基于混合型伸缩因子的变论域模糊控制方法具有更小的控制误差。

以上2个实验的结果表明:提出的基于比例-指数混合型伸缩因子的变论域模糊控制方法，使得机械臂的关节空间和笛卡尔空间的轨迹跟踪控制均具有更好的控制效果。

7 结 论

变论域模糊控制方法是在模糊控制的基础上引入变论域思想，通过对输入、输出变量加入伸缩因子的方式来实现一种基于比例-指数型的混合伸缩因子的变论域模糊控制方法，并将该方法应用于三关节机械臂轨迹跟踪控制。仿真结果表明：选取比例-指数型混合伸缩因子，相比于指数型伸缩因子，控制系统的动态响应快，稳态精度高，具有更好的控制效果。