牛光光， 杨翊仁

(西南交通大学力学与工程学院， 成都 610031)

引 言

圆柱壳是核电、航空航天等工程领域广泛采用的一种结构形式，如核反应堆吊篮、潜艇、大型储油罐和火箭燃料室等大都采用圆柱壳结构。圆柱壳与流体构成典型的流固耦合系统，流体对结构的动态特性影响较大，因此很多学者对圆柱壳流固耦合系统的动态特性进行研究[1-15]。例如，马建中等人[1]从圆柱壳的运动微分方程和流体的N-S方程出发，基于流体不可压缩假设导出了作用在圆柱壳结构上的流体附加质量和附加阻尼，再结合有限元方法对耦合系统的振动特性进行了研究。Zhang[2-4]采用波传播方法对有限长浸水圆柱壳的振动特性进行了研究，通过与有限单元法的计算结果对比，验证了波传播方法的准确性。梁斌等人[5]采用波传播方法研究了不同条件下环肋功能梯度圆柱壳在静水压力下的耦合振动特性。董宇[6]基于声固耦合理论，采用Ansys软件中的Fluid30单元对含环形间隙流体的同轴圆柱壳进行了研究，结果表明随着静水间隙的减小，固有频率随之下降。徐建航[7]对Ansys中Fluid30单元计算小间隙流体的适用性问题进行了研究。Moreno-García[8]详细回顾了梁和板的自由振动和屈曲计算中瑞利-里兹法所采用的几种试函数，并针对固支矩形板的自由振动问题，研究了6种试函数的数值稳定性、收敛性及计算时长。Lee等人[9]采用瑞利-里兹法研究了圆柱壳的自由振动问题，给出了圆柱壳质量阵、刚度阵的显式表达式，并研究了不同边界条件和不同假设下圆柱壳的固有特性。Askari等人[10]采用半解析的方法研究了圆形容器中浸水悬臂圆柱壳的耦合振动问题，通过瑞利-里兹法计算耦合系统的固有频率，利用有限单元法验证了该方法的准确性。张德春[11]采用能量的方法研究了悬臂同轴圆柱壳结构在水中的振动特性，讨论了流体间隙对同轴圆柱壳固有频率的影响。Kwak[12-13]采用能量的方法研究了无限大流域内、部分浸水悬臂圆柱壳的振动特性,给出了壳体质量阵、刚度阵和流体附加质量阵的显式表达式，通过求解特征值问题给出了圆柱壳的固有频率。Wu[14]采用实验和数值求解的方法研究了液位对圆柱壳储液罐动态特性的影响。研究发现，随着液位的升高耦合系统的膨胀频率出现了下降的趋势。

综上所述，目前主要有两类方法计算圆柱壳流固耦合振动问题，分别是波传播法和能量法。前者直接从圆柱壳的运动微分方程出发，基于波动理论迭代求解。后者先计算结构和流体的能量，通过拉格朗日方程获得耦合系统的运动微分方程，最后通过求解特征值获得耦合系统的振动频率。很多学者对无限大域流体内的圆柱壳耦合系统进行了研究，但鲜有基于能量的方法对有限环形域内圆柱壳方面的研究报道。鉴于此，本文基于能量的方法对有限环形域内浸水悬臂圆柱壳的振动特性进行了研究，同时研究了不同液面高度和不同环形间隙的流体对圆柱壳固有频率的影响规律。

1 圆柱壳耦合系统模型及能量分析

1.1圆柱壳结构动能

考虑图1所示柱坐标系下的圆柱壳结构，圆柱壳中面半径为R、厚度为h、长度为L，u、v和w分别是x、θ和z三个方向的位移分量。圆柱壳的动能为：

(1)

式中：ρ为圆柱壳的密度。对三个方向的位移分量进行模态展开，则圆柱壳的动能叠加形式：

(2)

计算可得圆柱壳动能：

(3)

式中：Ms为圆柱壳质量阵：

(4)

图1 柱坐标系下圆柱壳模型

1.2圆柱壳结构势能

圆柱壳的势能为其弹性应变能，其势能表达式如下：

(5)

代入满足胡克定律的应力-应变关系式，并对应变分量进行模态展开，则圆柱壳总的势能V可以写成n个势能叠加的形式：

(6)

(7)

式中：KnF为圆柱壳的刚度阵。

(8)

1.3流体动能

图2 圆柱壳流固耦合模型

(1)外部流体势

(9)

式中：上标e表示外部流体域Ⅱ。流体势满足柱坐标系下的拉普拉斯方程：

(10)

外部流体边界条件：

(11)

式中：wn(x,θ,t)为圆柱壳的径向位移分量。根据文献[13]的方法，流体势可写成：

(12)

通过分离变量的方法，引入边界条件，对拉普拉斯方程求解可得流体势表达式：

(13)

(2)内部流体势

同理，对于内部流体势求解与外部流体有相同的求解方法。内部流体边界条件如下：

(14)

式中上标示i表示部流体域I。内部流体和外部流体的求解区别在于对不同边界条件的处理，对于内部流体需要利用Bessel函数的性质，即当内部流体在r→0时，Kn(λkr)趋向于无穷大。内部流体势表达式为：

(15)

(3)耦合系统总动能

耦合系统总的动能为圆柱壳动能与流体动能之和：

(16)

式中：

其中Mfe=-(PnλInλ(R)+

2 特征值问题

求得耦合系统的动能和势能，代入拉格朗日方程：

(17)

式中：Ln=Tn-Vsn。则耦合系统的运动微分方程如下：

(18)

(19)

3 算例讨论

圆柱壳采用悬臂约束，对于悬臂圆柱壳模型，一端固支一端自由，其满足如下边界条件：

(20)

式中：u,v,w为位移，M和N分别为弯矩和剪力。

对于上述边界条件，圆柱壳试函数采用悬臂梁的模态振型，悬臂梁试函数φi：

(21)

试函数代入质量阵和刚度阵的表达式，通过求解特征值问题即可计算出圆柱壳的固有频率。为了验证能量法计算圆柱壳固有频率的准确性，采用有限元软件Ansys的结果进行对比验证。分别计算两种工况：(1)真空中圆柱壳的固有频率；(2)耦合系统中圆柱壳的固有频率。计算所需要的模型参数如下：内部圆柱壳中面半径R=4 m，壁厚h=0.04 m，长度L=20 m，杨氏模量E=2e11 Pa，泊松比ν=0.3，密度ρ=8000 kg/m3；流体为水，密度ρf=1000 kg/m3，声速c=1400 m/s，液面高度H=L；外部圆柱壳内径R1=10 m。有限元建模中，圆柱壳采用SOLSH190单元，流体采用FLUID30单元。真空中圆柱壳的模态提取采用BlockLanczos方法，耦合系统中圆柱壳的模态提取采用Unsymmetric方法。本文提取前七阶频率进行对比验证，真空和耦合系统中圆柱壳频率对比结果分别见表1和表2。从表1中可以看出，基于能量法的真空中圆柱壳固有频率计算结果和有限元法的计算结果有较好的吻合，表2也有相同的趋势。有限元法的计算结果验证了能量法的可行性及准确性。对比表1和表2发现，静水中的圆柱壳频率显著低于空气中的频率。

表1真空中圆柱壳频率对比

表2耦合系统圆柱壳频率对比

(1)液面高度H对圆柱壳频率的影响：一阶梁(m=1,n=1)频率随液面高度变化如图3所示。从图3中可以发现，当液面高度在圆柱壳1/2高度以下时，圆柱壳的频率随液面高度变化显著，说明在这个高度范围内，圆柱壳的频率对液面高度变化较为敏感；随着液面高度的增加，圆柱壳的频率变化趋于稳定。圆柱壳频率的变化是由于耦合系统中流体附加质量的作用，流体液面升高使得流体附加质量增加，导致圆柱壳频率降低。

图3 一阶梁(m=1,n=1)频率随液面高度变化

(2)流体环形间隙对圆柱壳频率的影响：圆柱壳各阶频率随环形间隙大小变化如图4所示。从图4中可以发现，随着环形间隙的不断缩小，圆柱壳的频率迅速下降；当间隙趋于零时，圆柱壳的频率趋于无穷小。这是由于间隙很小时，附加质量会趋于无穷大[11]。

图4 圆柱壳频率随流体间隙变化

4 结束语

基于能量的方法对浸水悬臂圆柱壳的振动特性进行了研究。利用Ansys程序验证了该方法的可行性及准确性，该方法直接给出了耦合系统中质量阵、刚度阵和流体附加质量阵的显式表达式。通过对液面高度和环形间隙的研究发现：圆柱壳的频率随着液面高度的升高而降低，随着环形间隙的减小而降低。运用本方法，还可以计算不同边界条件和不同圆柱壳理论的流固耦合振动问题，通过改变试函数和应变的假设，可以求解不同边界和不同圆柱壳理论的流固耦合振动问题。