5.1图形的对称、平移和旋转

吴伟霞

考点、易混易错点解读

考点主要有轴对称、轴对称图形和中心对称、中心对称图形的概念和性质，平移、旋转的概念，在网格内或坐标系内进行图形变换，常与三角形、四边形相结合.折叠和旋转也可以与圆结合，综合性较强.

易错点有：找不准对称点、对称轴导致对称图形判断错误：找不准旋转角和旋转中心而产生错误，特别是图形经过多次旋转后确定旋转中心和旋转角时，易出错.

高频考点例题点拨

一、轴对称图形与轴对称、中心对称图形和中心对称

例1 （2019.青岛）下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）.

解析：选项A、C是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项A、C错误，选项B不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项B错误，选项D既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确.选D.

点拨：判断一个图形是不是轴对称图形，主要看能否找到对称轴.轴对称图形的对称轴两侧的部分折叠后可重合，判断一个图形是不是中心对称图形，主要看能否找到对称中心，

二、图形的平移

例2（2019.枣庄）如图1，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A 'B'C'的位置.A'B，A 'C'与BC分别交于点E.F已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形A'EF的面积为9.若AA=1，则A'D等于（ ）.

A.2

B.3

C.4

D. 3/2

2

点拨：本题主要考查平移变换的性质、相似三角形的判定與性质等知识点.需要特别注意的是：相似三角形的面积比等于相似比的平方，而不是相似比，

三、对称与坐标变化

例3 （2019.杭州）在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则（ ）.

A.m=3.n=2

B.m=-3.n=2

C.m=2.n=3

D.m=-2.n=-3

解析：∵点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，

∴m=一3.n=2.

∴选B.

点拨：轴对称问题中点的横、纵坐标变化的规律是“关于谁对称谁不变，关于原点对称都变”，这里的“变”是指变符号.四、轴对称和最小值问题例4 如图2，在菱形ABCD中，AC=6√2，BD =6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是（ ）.

A.6

B.3√3

C.2 √16

D.4.5

解析：如图3，作点E关于AC的对称点E'.过点E'作E'M ⊥AB于点M，交AC于点P.此时PE+PM取得最小值.

点拨：本题是有关轴对称的最短路线问题，考查菱形的性质和轴对称的性质.解决最短路径问题，要以动点所在直线为对称轴，作其中一个端点的对称点，连接对称点与另一个端点构成特殊线段，再把该线段转化到直角三角形或者特殊四边形的边上，

五、图形的旋转

例5 （2019.荆州）如图4.等腰直角三角形OEF的直角顶点D为正方形ABCD的中心，点C，D分别在OE和OF上，现将△OEF绕点O逆时针旋转

点拨：本题考查了旋转的性质（对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前后的图形全等）、等腰直角三角形的性质和正方形的性质.易错点是易把∠AOF当作旋转角α，从而得到错误答案.

解决图形旋转中判断线段的数量关系或求角的大小的问题，要根据图形旋转前后对应的角相等求出未知角的度数，根据旋转前后对应的线段长度相等求出未知线段的长度.一般把所求线段转化到特殊四边形或者直角三角形中.

中考命题预测

1.下列汽车标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）.

2.如图6，在Rt△ABC中，∠A CB=90°，∠A =40°.以直角顶点C为旋转中心，将△ABC旋转到△A 'B'C的位置，其中A、B'分别是A、B的对应点，且点B在斜边A'B上，直角边CA'交AB于D，则旋转角等于（ ）.

A.70°

B.80°

C.60°

D.50°

3.如图7，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，E是AB的中点，直线Z平行于直线EC，且直线Z与直线EC之间的距离为2，点F在矩形ABCD边上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点A恰好落在直线Z上，则DF的长为_____.

4.如图8，Rt△AOB的斜边OA在y轴上，且AB=3.∠AOB=300.将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转一定的角度a（O

5.2 图形的相似与解直角三角形

杨哲

考点、易混易错点解读

“图形的相似”这部分的基本考点有：成比例线段间的关系，相似三角形的判定，相似三角形的性质及其应用，相似多边形的相似比或周长比、面积比等.图形的相似常在几何探究题中与特殊三角形、四边形、圆和三角函数等相关知识结合进行综合考查.

运用相似三角形的判定和性质时，不少同学常因找错对应边、对应角导致出错，考虑问题要全面，如判断三角形相似没有明确对应关系时，一定要分类讨论，否则会漏解.

锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值的有关计算是基本考查点.解直角三角形的实际应用是历年中考的热点，其中大多会利用解直角三角形的知识解决和高度（或宽度）、航行、坡度及实物情景有关的问题，主要考查的模型有“背对背型”“母子型”.

高频考点例题点拨

一、相似三角形的判定与性质的综合应用

例1 如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE=∠A CB.

（1）求证：△ADE∽△A CB.

（2）如果E是AC的中点，AD=8，AB=10，求AE的长.

点拨：判定两个三角形相似的常用方法有五种.当图形中有平行线时，可利用平行线判定三角形相似：当图形中已知两三角形的一组角相等时，可以尝试证明另一组角相等，或证明相等的这组角的两组夹边对应成比例：当题中已知两三角形中三边的长度时，可以先看看三组对应边的比是否相等;对于直角三角形，还可利用斜边、直角边对应成比例来证明两三角形相似，

例2（2019.杭州）如图2，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC.M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则（ ）.

点拨：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，充分发挥基本图形的作用，通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系.

点拨：本题是相似三角形与圆的综合题，借助平行线、等腰三角形证明角度相等，运用“两角法”证明两三角形相似.

二、锐角三角函数的概念及特殊角的三角函数值

例4 （2019.宜昌）如图4，在5x4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（ ）.

A.4/3 B.3/4 C.3/5 D.4/5

点拨：求一个锐角的三角函数值时，依据三角函数的定义，构造直角三角形，把该角放在直角三角形中.借助网格合理地添加辅助线是解答本题的关键.

三、解直角三角形的实际应用

例5（2019.聊城）某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度（如图6所示的CD部分），在起点A处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45°，底端D点的仰角为30°.在同一剖面沿水平地面向前走20 m到达B处，测得顶端C的仰角为63.4°.大楼部分楼体CD的长度约为多少米？（精确到1 m.参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45.tan63.4°≈2.00.√2≈1.41，√3≈1.73）

解析：设楼高CE为xm

∵在Rt△AEC中，∠CA E=45°，

点拨：解这类锐角三角函数的实际应用问题时，要将涉及的线段转化到直角三角形中（有时需要作辅助线构造直角三角形）.这类问题一般涉及两个直角三角形，首先设要求的边长为x，在一个直角三角形中利用锐角三角函数构建方程，用含x的代数式表示另一边长;再在另一个直角三角形中利用锐角三角函数构建方程，即可求解，

易错点是两个直角三角形没有找对.或者在第一个直角三角形中没有用未知的边长表示出第二个直角三角形的某一边长.致使无法第二次使用锐角三角函数构建方程，另外，熟记特殊角的三角函数值也很有必要，

中考命题预测

1.如图7，已知DE//BC，CD和BE相交于点O.S△DOE：S△COB=9：16，则DE：B（为（ ）.

A.2：3

B.3：4

C.9：16

D.1：2

2.如图8.AB是⊙0的直径，C、D是OO上的点，∠CDB=30°.过点C作OO的切线交AB的延长线于E，则sin∠E的值为（ ）.

4.如图10，在△ABC中.AC=6，AB=4.点D与点A在直线BC的同侧，且∠A CD=∠ABC，CD =2.点E是线段BC延长线上的动点，当△DCE和△ABC相似时，线段CE的长为（ ）.

A.3 B.4/3 C.3或4/3 D.4或3/4

5.如图11.在△ABC中，AB=A C=12，AD上BC于点D，点E在AD上且DE=2AE，连接BE并延长交AC于点F，则线段AF的长为

6.风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源.风电机组主要由塔杆和叶片组成，如下页图12（1），图12（2）是从图12（1）引出的平面图，假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°.沿HA方向水平前进43 m到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D（D、C、H在同一直线上）的仰角是45°.已知叶片的长度为35 m（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高B（;为10 m，BG IHG.CHIAH，求塔杆CH的高.（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7.，sin55°≈0.8. sin35°≈0.6）

5.3 视图与投影

陈 冬

考点、易混易错点解读

考点主要有平行投影和中心投影的含义及简单应用，画常见几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图（主视图、左视图、俯视图），根据三视图描述常见几何体或实物的形状，

如果对几何体的主视图、左视图、俯视图的概念理解不准确，在处理立体图形与其三视图的相互转化问题时，则易出现错误，在解答几何体的展开与折叠问题时，图形判断或计算容易出错.

高频考点例题点拨

一、几何体的展开与折叠

例1 如图1所示的是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体，有“粤”字一面的相對面上的字是（ ）.

A.澳

B.大

C.湾

D.区

解析：根据正方体展开图可知“港”“澳”“湾”“区”四个字所在的面与“大”所在的面都有公共点，故它们不可能是对面，则有“粤”字一面的相对面上的字是“大”.选B.

点拨：本题是判断正方体相对两个面上的文字问题，明确正方体的展开图中相对的面不存在公共点是解题的关键，

二、几何体的三视图

例2（2019.孝感）下列立体图形中，左视图是圆的是（ ）.

解析：球的左视图是圆形，选项D符合题意，其他三个选项的左视图都不是圆.

点拨：本题考查了几何体的三视图，注意所有的看到的棱都应体现在三视图中，

三、根据视图判断几何体的个数

例3 （2019.齐齐哈尔）如图2是由几个相同大小的小正方体搭建而成的几何体的主视图和俯视图，则搭建这个几何体所需要的小正方体的个数至少为（ ）.

A.5

B.6

C.7

D.8

解析：综合主视图和俯视图，可知底层有4个小立方体，第二层最少有2个小立方体，因此搭成这个几何体的小正方体的个数最少是6.选B.

点拨：可以想象出左视图的样子，然后根据“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”很容易知道小正方体的最少个数.

四、根据视图求面积或体积

例4（2019.桂林）一个几何体的三视图如图3所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆（含圆心）.根据图中所示数据，这个几俯视图何体的表面积为（ ）.

A.π

B.2.2π

C.3π

D.（√3+1）π

解析：由三视图可知该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为、√3的正三角形.

∴正三角形的边长=√3/sin60°=2.

∴圆锥的底面圆半径是1，母线长是2.

∴底面圆的周长为2π.故侧面积为1/2×2πx2=2π.

∵底面圆的面积为πx1²=π，

∴圆锥的表面积是3π，选C.

点评：本题考查了圆锥的三视图及有关计算.准确判断几何体的形状是解题的关键.

五、与投影有关的计算

例5如图4，路灯距离地面8m，身高1.6 m的小明（AB）在距离路灯的正下方地面上点O处20 m的A处，则小明的影子AM的长为____m.

解析：设A M=xm，根据相似三角形知识，有x/x+20 =1.6/8，解得x=5.故AM的长为5m.

点拨：解决与投影有关的计算问题时，常常需要根据“太阳光下，同一时刻垂直于地面放置的物体的高度与影长成正比”，列出比例式，再代人相关数值求解，

中考命题预测

1.下列图形的主视图与左视图不相同的是（ ）.

A

B

C

D

2.展览厅内要用相同的正方体木块搭成一个三视图如图5的展台，则此展台共需这样的正方体木块的个数是（）.

A.7

B.8

C.9

D.10

3.如图6是一个立体图形从左面和上面看到的形状图，这个立体图形是由一些相同的小正方体构成的，这些相同的小正方體的个数最少是（ ）.

A.4 B.5 C.6 D.7

4.如图7是一个中间挖去一个圆柱的长方体，则它的主视图是（ ）.