冯伟鑫，张海丰，刘明达，韩海生，李慕勤

(佳木斯大学a.理学院,b.附属第二医院,c.材料科学院，黑龙江 佳木斯 154007)

0 引 言

在量子力学中，物理量和波函数的具体表示形式成为表象，由于算符在自身表象中的矩阵为对角阵，所以需要用表象变换使得算符变到自身表象下，幺正算符就是实现这一变换的算符，被广泛的应用，例如邓志姣等从幺正变换的角度解释了半波损失[1]；赵盼汝给出了基于幺正矩阵的量子隐形传态的实现方案[2];余海军研究了基于量子力学表象变换理论构造的小波函数族[3]；梁彦霞等研究出了一种量子数据压缩的幺正变换方法[4]；谢传梅等研究了一维线性谐振子哈密顿量的非幺正变换[5]；高慧芬等利用表象变换给出了非厄米量子系统的能量[6]；张跃进一步分析了表象变换[7]。本文旨在对幺正变换及其性质作进一步的详细阐述，并给出具体的应用，为加深对表象理论的理解具有很好的作用。

1 幺正变换算符

(1a)

(1b)

把基矢|ψm〉在|φn〉空间表示出来可以得到

(2)

其中

Unm=〈φn|ψm〉

(3)

因此

U+nm=〈ψm|φn〉=U-1nm≠Umn

(4)

(5)

(6)

同理可以将任意态矢量|Ψ〉向两个基底作展开

(7a)

(7b)

展开项系数之间满足

(8)

上式的矩阵形式为

(9)

上式可以简写为

(10)

(11a)

(11b)

根据封闭关系可以得到两个矩阵元之间的关系

(12)

上式可以简写为

(13)

2 幺正变换的性质

性质1：幺正变换不改变力学量的本征值

(14a)

(14b)

(14c)

由(14a)和(14c)式可知，幺正变换后本征值不变。

性质2：幺正变换不改变矩阵的迹

(15a)

(15b)

|Cn|2=|〈φn|ψ〉|2

(16a)

|φn〉→U+|φn〉

(16b)

|ψ〉→U+|ψ〉

(16c)

|〈φn|ψ〉|2=|Cn|2

(16d)

性质4：幺正变换不改变力学量的期望值

(17a)

|ψ〉→U+|ψ〉

(17b)

(17c)

3 幺正变换算符用厄米特算符表示

(18)

其厄米共轭为

(19)

通过(18)和(19)式可以得到

(20a)

(20b)

根据(5)和(6)式可得

(21a)

(21b)

于是可以得到以下关系

(22a)

(22b)

(23)

(24)

(25)

所以在(0,2π)有实数θn，使得

An=cosθn

(26)

Bn=sinθn

(27)

所以

(28)

(29)

(30)

(31)

4 幺正变换算符和能量算符之间的作用关系

(32a)

对上式求导得

(32b)

可的

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

5 结 论

通过以上推导可知幺正变换幺正变换下算符的本征值、矩阵的迹、力学量的取值几率和期望值等都不睡表象变换和变化。同时幺正变换算符可以用厄米特算符的线性组合及e指数表示出来，并且能量算符亦可以用幺正变换算符表示。