陈小艳, 耿 维,2

(1.西南交通大学 经济管理学院，四川 成都 610031; 2.服务科学与创新四川省重点实验室，四川 成都 610031)

0 引言

免费是网络经济中的重要概念。在与免费相关的诸多商业模式中，企业向市场推出功能有限的免费版和功能升级的付费版两种产品，通过免费版建立用户基础而通过付费版转化得到利润的模式被称为免费增值商业模式。网络外部性驱动着免费增值商业模式的发展。在诸如数字电视[1]、CD唱片机[2]、通讯[3]、P2P音乐分享[4]、物联网服务[5]、在线评价系统[6]、网络游戏[7]、虚拟世界[8]等行业中，网络外部性都普遍存在，即每个用户因使用同一产品或服务的用户总数变化而感知到不同的效用[9]。网络外部性使得消费者的决策不仅受产品价格和质量的影响，也与产品用户总数息息相关。成本是影响免费增值商业模式的重要因素。一方面，信息产品往往高度模块化而容易拆分功能、且研发完成后的边际生产成本低至可以忽略，因此企业易于提供免费版产品[10]。另一方面，由于消费者需要付出使用成本，产品即使免费也不能轻易覆盖整个市场。现有文献对免费版和付费版产品使用成本相同和不同的各种情形都进行了讨论[11,12]。

在免费增值商业模式中，企业有两种策略来选择产品推出的时机。一种是同时向市场提供免费和付费两种产品，如网易云音乐、QQ音乐等在线音乐播放器同时向用户提供免费试听和付费会员，各种手机应用软件同时向用户提供免费普及版和付费高级版等。另一种是首先向市场推出免费版产品再推出付费版产品，如美剧总是先试播免费的先导片再推出正剧，在线游戏常常先免费公测一段时间后再推出付费版本等。在第二种策略中，企业分两阶段序贯推出免费和增值产品主要是借助消费者学习来降低使用成本。一系列文献已经发现消费者学习为企业所带来的诸多益处：Iyengar等发现它在一定条件下可以实现企业和消费者共赢[13]；Villas-Boas发现它能够促使消费者重复购买、建立品牌忠诚[14]；Dey等发现它可以帮助消费者从免费版产品中获取更大的效用[15]。在这种两阶段免费增值商业模式中，率先推向市场的免费版产品将向潜在消费者提供学习和使用产品的机会，帮助用户熟悉产品和获得相关信息，这种学习效应有助于企业销售后续推出的付费版产品从而增加利润。

现有文献已经较为广泛地研究了同时推出免费和付费产品的单阶段免费增值商业模式。例如，Haruvy和Prasad针对软件产品讨论了该模式的应用，尤其是免费版产品质量在其中的影响[16]；Lee等针对电商企业进行了讨论，发现借此增大用户规模从而在销售付费版产品时可以获得更高利润[17]；Cheng和Tang讨论了企业应用这种模式的获利条件，发现企业在网络外部性较强时更能获利[11]。

对两阶段免费增值商业模式的研究则较少。针对企业序贯推出产品的商业实践，目前主要有三类相关文献可作为参考。第一类是关于企业跨渠道序贯推出产品的文献。Elberse和Eliashberg研究了跨国市场产品扩散问题，发现产品发布的时间差直接影响着渠道间的市场关系[18]。August等针对影视资源的发布渠道进行了类似讨论[19]。在这类文献中，企业先后推出的是同一种产品，而非率先推出功能有限的免费产品。第二类是关于产品更新换代的文献。Zhang和Seidmann基于两阶段模型分析了不同网络外部效应影响下产品更新换代的定价问题[20]。Mehra等研究了竞争环境下产品更新问题[21]。在这类文献中，企业先后推出的两种产品质量或功能递增，但都是需要付费的，这使其明显有别于免费增值商业模式。第三类是关于免费试用的文献。Niculescu和Wu讨论了企业采用免费试用商业模式的条件[10]。Cheng等将其与单阶段免费增值商业模式进行了对比分析，发现网络外部性是影响商业模式选择和产品设计的决定性因素[22]。在这类文献中，企业率先推出的试用版产品虽然免费但有使用期限，与免费增值商业模式中可持续使用的免费版产品明显不同。

本文在现有文献基础上，研究了两阶段免费增值商业模式中的定价优化和时序问题。首先解析地给出了此时企业对付费版产品的最优定价；然后讨论了企业应用这种模式相对单阶段模式获得较高利润的条件；最后探讨了这种模式中学习效应强度对企业利润的影响。

1 模型

企业在两阶段免费增值商业模式中先向市场提供免费版产品，再提供付费版产品。在不致误解的情况下以质量来反映相关功能差异，即付费版产品质量为sH，免费版产品质量为sL，且sH>sL。不失一般性，将(sH,sL)记为(1,α)以简化建模和分析，其中α∈(0,1)。与文献一致[9,11,12]，假设消费者在使用产品前已获知产品真实质量，并假设产品的边际生产成本为零。

市场中消费者对产品的估值系数θ具有异质性。将市场规模标准化为1后，θ服从[0,1]上的均匀分布。假设网络外部性直接影响消费者的估值系数[9,23～25]，并采用文献中常用的线性估值函数[11,23,26]，即估值系数为θ的消费者对免费版产品的估值为(θ+γQ)α，对付费版产品的估值为θ+γQ，其中γ>0为网络外部性强度、Q为产品用户总数。记付费版的使用成本为cH，免费版的使用成本为cL，且有cL≤cH<1和cL<α。假设cH=η(α)cL，其中η(α)是α的增函数，即两种版本的使用成本比例与质量比例有关，付费版产品质量越高则使用成本越高。本文对η(α)的具体形式不作假设，仅讨论一般情形。

以企业推出付费版的时间为界，将问题分为两个阶段。在第一阶段，企业只推出免费版产品，消费者根据自身所获效用决策是否使用该产品。容易看到，在第一阶段未使用产品的消费者在第二阶段仍然不会使用。若消费者在第一阶段使用免费版产品，则在第二阶段的使用成本将降低。具体而言，该消费者在第二阶段继续使用免费版产品时将没有使用成本，而使用付费版产品的使用成本为(cH-cL)/β,其中β≥1为学习效应强度。在此基础上，消费者在第二阶段选择继续使用免费版产品或购买付费版产品。显然越大的β值对降低消费者使用成本越有利。在现实当中，企业可操纵序贯推出两种产品的时间差长度，利用这段时间差加大营销推广或鼓励消费者在社会网络上分享经验等来提升学习效应。无论企业采用传统营销方式还是社会化营销，它都将承受一定成本。比照现有文献[27～29]，采用二次函数形式的成本函数，记为k(β-1)2Q2，其中k>0为单位成本系数、β-1表明企业所承受的实际成本与它通过努力而实现的学习效应增加值有关、Q2为第二阶段付费版产品的用户数量。注意到，在单位成本系数给定的情形下，企业可以通过延长序贯推出两种产品的时间差来提升学习效应。

记第一阶段市场中对是否使用免费产品无差别的边际消费者的估值系数为θ1，它满足以下等式:

α(θ1+γQ1)-cL=0

(1)

此时Q1=1-θ1，故可求解得到产品在第一阶段的用户总数如下：

(2)

因此应有γ<1以保证Q1>0。

记第二阶段企业向市场推出付费版产品时定价为p，此时市场中对继续使用免费版产品和购买付费版产品无差别的边际消费者的估值系数为θ2，它满足以下等式：

(3)

此时Q2=1-θ2，故可求解得到在第二阶段的付费用户总数如下：

(4)

其中，记B=αγcH-αγcL-αcH+αcL+βαγcL-α2β-βγcL+αβ以保持表达式简洁。

2 企业对增值产品的最优定价

考虑企业以最大化利润为目标来确定最优价格。先考虑无约束的问题，即

(5)

由(4)和(5)式可得

(6)

由(6)式可知Π关于p是全局凹函数，从而易得无约束问题的最优解为

(7)

显然企业的定价决策受到诸多条件的限制。首先，第二阶段付费版产品用户数量应该低于第一阶段使用免费版的用户数量，即Q2(α(cL-cH-βcL)+βcL)/αβ=p1。当价格为p1时，所有免费版产品用户都会升级购买付费版产品。其次，付费版产品用户数量应为非负值，即Q2>0。于是有pk(β-1)2=p3。当价格为p3时，企业销售产品的收入全部用于支付成本。上述3个条件应当同时满足，即max(p1,p3)p2≥p1总是成立，且p3>0。如果p1>p3，则付费版产品价格应满足p1

综上所述，给出如下引理。

引理1在两阶段免费增值商业模式中，企业为付费版产品定价的可行域为

图1 付费版产品价格的可行域

命题1在两阶段免费增值商业模式中，企业对付费版产品的最优定价及企业的最优利润为：

(8)

(9)

(10)

(11)

在两阶段免费增值商业模式中，基于直观感觉容易认为企业在第二阶段将越多的免费版产品用户转化为付费版产品用户则可获得越多的利润，即转化率越高越好。注意到付费版产品定价可行域的建立方式，可知当价格为p1时，转化率达到最高值，此时所有免费版产品用户都将购买付费版产品。但由命题1可知，最优定价实际上并不总是取值为p1，反而在更多情形下取值大于p1。具体而言，若免费版产品质量相对较低且网络外部性强度相对较弱，则企业应通过合理定价使全部免费版产品用户转化为付费版产品用户；否则，企业应保留一部分免费版产品用户。

3 两阶段模式与单阶段模式的比较

命题2若2cL/(1+cH)<α<1且γ1<γ<1，或cL<α≤2cL/(1+cH)且γ2<γ<1，则企业应采用单阶段免费增值商业模式，此时企业的最大利润为Π#=A2/4α2(1-γ)2(1-α)，其中A=-α2+α-γcL+αγcH-αcH+αcL。

将前述命题1与命题2比对，可以比较得出当免费版产品质量α、网络外部性强度γ和学习效应强度β等参数给定时，两阶段模式相比单阶段模式可带来较高利润的条件。记Δ=Π*-Π#，即企业采用两阶段模式相对于单阶段模式所获利润的变化值。若Δ>0，则两阶段模式是有优势的。学习效应强度β是影响企业是否采用两阶段模式的重要因素。在后续分析中，考虑到表达式的简洁和分析的方便，本文将借助参数k来讨论β的影响。记

(12)

(13)

(14)

(15)

命题3若0

证明由命题1和命题2分别可知，Π*有两种取值，Π#有一种取值，于是Δ=Π*-Π#共有两种取值，即

(16)

(17)

分别求解公式(16)和(17)可知，当且仅当00，当且仅当00，且k2

注意到若2cL/(1+cH)<α<1则γ1>γ2，若cL<α≤2cL/(1+cH)则γ1≤γ2。

命题得证。

从命题3可以看到，单位成本系数k过高时企业将不采用两阶段免费增值商业模式；若该系数较低，则企业在网络外部性较强时总可以通过采用该模式来获得较高的利润，此时其所对应的网络外部性强度最低阈值受到免费版产品质量的影响。在具体的运营实践中，当单位成本系数满足命题3所述要求时，企业可以首先根据免费版产品质量α所处区间，判断当前市场中产品网络外部性强度是否达到所需的最低阈值，若能够达到则可采用两阶段模式，并按命题1对付费版产品进行最优定价。下面的图2汇总地直观给出了决策路径。

图2 企业采用两阶段模式的条件

4 学习效应强度对利润的影响

学习效应强度β对采用两阶段免费增值商业模式的企业具有重要影响。从前两节的结果来看，它对企业利润的影响比较复杂，分式和高阶多项式的存在使得要解析地给出相关阈值或者对它进行优化是相当困难的。本文在此通过数值算例进行演示。

图3 单位成本系数不同时企业利润随学习效应强度的变化

从图3中可以看到，学习效应强度对企业最优利润的影响呈现单峰特性，即最优利润并非随着学习效应强度的增加而单调上升，而是存在一个明显的峰值，在到达该峰值后若再继续增大学习效应强度利润反而会下降。在单位成本系数一定时，一般认为学习效应强度与序贯推出两种产品的时差长度相关，时间越长则学习效应越强。因此企业在两阶段免费增值商业模式中应注意产品推出的时间差，不能一味地推迟付费版产品的发布。图3还表明单位成本系数对最优利润值和峰值位置都有显著影响，也显著地影响着两阶段模式相对于单阶段模式的优势区间。因此企业应当注意市场调研和成本控制，增加对该系数的认知。

图4 两阶段模式可获得较高利润的区域

数值计算中所发现的企业最优利润对于学习效应强度的单峰性意味着企业有可能对学习效应强度进行优化，即企业在完成产品设计、确定免费版产品质量α后，可根据网络外部性强度γ的实际情况获得最优学习效应强度β的值。通过优化学习效应强度可以进一步提升企业采用两阶段免费增值商业模式所获得的利润，增强两阶段模式的适用性。图4在α-γ平面上展示了基于最优学习效应强度的利润比较结果，其中cL=0.4，cH=0.6，k=0.01，边界γ1和γ2均与β值无关，而边界γ0对应β=2。图中阴影部分表示两阶段模式所获利润较高的区域，若β为定值β=2，则企业仅在浅色阴影部分可获得较高利润，其中(1)、(2)和(3)三个子区域分别对应命题3中的三种情形；若对学习效应强度进行优化，则企业在深色阴影部分(4)中也可获得较高利润。

5 结论

两阶段免费增值商业模式在企业当中已经得到较为广泛的应用。采用两阶段模式的企业利用率先推出的免费版产品向潜在消费者提供学习和使用的机会，帮助消费者降低相应付费版产品的使用成本，意图促进付费版产品的销售以增加利润。这种模式在文献中得到的讨论目前还不够充分，值得深入探究。

本文针对企业在两阶段模式中利用免费产品和付费产品推出的时间差来降低消费者使用成本的商业实践，首先建立了一个两阶段模型，解析地给出了给定系统参数时以最大化企业利润为目标时付费版产品的最优定价。在该管理情景当中，企业主要是在定价过高导致付费用户数过低和定价过低导致利润率过低当中进行权衡。与文献当中的情形不同的是，在企业进行权衡时，学习效应显著地影响着企业定价的灵活性，带来明显有别的结论。对该模型的研究发现，对转化率越高越好的直观认知并不符合理论结果，企业在免费版产品质量相对较高或网络外部性强度相对较强时应保留一部分未转化的免费版产品用户。

然后，本文将企业在两阶段模式中所获最优利润与单阶段模式中的结果进行了比较，得到了采用两阶段模式可获得较高利润的条件。在该管理情景当中，学习效应强度是给定值，除前述权衡之外，企业主要在利用两种产品推出的时间差进行营销的投入和产出当中进行权衡。这种权衡在关于免费增值商业模式的文献当中还未得到充分讨论。它首先受到单位成本系数的影响，即过高的单位成本系数将阻碍企业采用两阶段模式。只有单位成本系数适当时，企业才会继续考虑两阶段模式，而此时网络外部性的影响显现出来，即无论免费版产品质量如何，都只有较强的网络外部性才能支持这种商业模式。当然，网络外部性强度的下界因免费版产品质量而变。本文的结果为企业在两阶段和单阶段模式当中进行选择时提供了决策基础、决策路径和关键阈值。关于较低单位成本系数和较强网络外部性的发现将鼓励企业在推出具有社交属性等强网络外部性的产品例如网络游戏、职场社交等产品时采用两阶段模式，并鼓励它们积极采用社会化营销、病毒营销等新兴低成本营销方式。

最后，本文借助数值算例展示了学习效应强度对最优利润的影响，发现学习效应强度对企业最优利润的影响可能是单峰的，并在此基础上讨论了优化学习效应强度后拓展两阶段模式适用范围的问题。在该管理情景当中，企业在权衡利用两种产品推出的时间差进行营销的投入和产出时，可以通过优化学习效应强度即企业自身的投入来在一定程度上改变权衡结果，从而获得更高的利润。

在本文的建模和分析中，假设企业首先对免费增值商业模式当中的产品进行设计，确定免费版产品质量和付费版产品学习效应强度后，再进行产品的定价优化。这种假设有助于获得最优价格的解析解和接下来的分析。在后续研究当中，可以进行全部或某些重要参数的联合优化，有可能获得进一步的管理洞察。同时，在企业利用推出两种产品的时间差进行营销以提升学习效应时，消费者的响应，如学习方式和策略等，对学习效应也有重要影响，消费者的这种响应可能还具有异质性从而带来不同的学习效果。在后续研究当中，可以从学习效应角度考虑企业和消费者之间的博弈，进一步深化相关研究。