张鹏飞

摘 要：很长时间以来，布莱克-斯科尔斯（Black-Scholes）公式一直是期权定价的基础模型。但是，B-S公式假设回报分布服从正态分布，回报的波动率σ也是常数。正态分布的对称性和快速下降的尾部特征也意味着正态分布无法准确的描述资产回报的经验分布的偏度和肥尾性。另外，当今的期权市场波动率很高，这也就无法假定波动率σ是常数。因此，本文提出一种经典调和分布模型，并提出数值计算方法。经过校正，经典调和分布有着比正态分布更贴合实际的概率密度曲线。这个结果表明经典调和分布可以更好的替代正态分布。

关键词：期权定价，经典调和分布，数值模拟

经典调和分布的理论基础

正态分布的对称性以及快速下降尾部的特征意味着正态分布无法很好地描述资产回报概率密度分布的偏度和肥尾特征。经典调和分布可以在模拟实际回报率中作为正态分布的一种替代选择，因为其允许一定的偏度和肥尾性。

假设随机变量为X，经典调和分布的特征函数可以写作：

由于经典调和分布有5个参数，经典调和分布比正态分布更加灵活，也更适合模拟非对称、高峰值、重尾分布的数据。

数据和数值模拟

本文以交易所常见的欧式期权：标准普尔500指数（S&P 500，NYSE：SPX）为例，选取时间为01/01/2006至04/01/2016，计算期间每日的对数回报，然后分别使用正态分布和经典调和分布来拟合指数的对数回报曲线。其中，正态分布的参数μ（平均对数回报）以及σ（平均对数回报的标准差）很容易计算。对于经典调和分布的参数，我们使用最小二乘法来估计：

两个分布最终的参数拟合结果如下：

显然，由于λ+> λ-，经典调和分布的概率密度函数是左偏的，左尾下降速度更快。S&P500对数回报曲线（黑线）、经典调和分布曲线（蓝色）以及正态分布曲线（红色）如下图所示：

如图所示，经典调和分布更加拟合S&P500的对数回报曲线，与实施更加符合。相比于正态分布的两个参数，经典调和分布的5个参数更加贴合真实的曲线，在期权定价上，也会比使用正态分布的B-S公式更加准确。

参考文献：

[1]Rachev， Svetlozar & Kim， Young Shin & Bianchi， Michele & Fabozzi， Frank. （2011）. Financial Models with Lévy Processes and Volatility Clustering. 10.1002/9781118268070.

[2]Hull J C . Options， Futures， and Other Derivatives， 10/E[J]. 2008.

[3]范龍振， 胡畏. 金融工程学[M]. 上海人民出版社， 2003.