周善宏

数学教学的根本任务是优化学生的思维，培养学生的能力，使学生积极参与到知识的形成过程中去。一题多变的教学，正是有目的地从多方面、多层次、多角度去培养学生理解数学概念的能力，提高其思维品质。

一、立足教材，理解概念

《圆的有关性质》是通过与圆有关的线段（如直径、弦等）、角（如圆心角、圆周角等）和弧体现的。教学时，笔者出示下面这道习题：如图1，A、P、B、C是⊙O的四个点，∠APC=∠BPC=60°。判断△ABC的形状，并证明你的结论。

生1 ：△ABC是等腰三角形。

生2 ：△ABC是等边三角形。

师：等边三角形的判定有哪些方法？

生3 ：①三边都相等的三角形叫等边三角形;②三个角都相等的三角形是等边三角形;③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

师：想一想，如何将圆周角∠APC、∠BPC转化为△ABC的内角？

生4：同弧或等弧所对的圆周角相等，所以∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠BPC=60°。

师：根据以上讨论，判断△ABC的形状，并证明你的结论。

生5：△ABC是等边三角形。因为∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠BPC=60°，所以∠ACB=180°-（∠ABC+∠BAC）=60°， ∠ABC=∠BAC=∠ACB，所以△ABC是等边三角形。

师：很棒！你用的是判定定理②，大家可以分别用判定定理①、③尝试一下。

二、条件不变，挖掘结论

数学学习讲求灵活变通、触类旁通。要达到这样的效果，笔者需要抓住典型题目，引导学生通过多种方式开展探究。

师：已知条件不变，除上述结论外，大家还有什么发现，比如线段PA、PB、PC有什么等量关系？

生1：PC=PA+PB。

师：证明一条线段等于另外两条线段的和（差），一般用什么方法？

生2 ：截长法、补短法。

师：用“截长法”如何验证？

生3：如图2，在PC上截取PD=PA，连接AD，易证∠ADC=∠APB=120°、∠ACD=∠ABP、AC=AB，所以△ACD≌△ABP、DC=PB，最后得出结论：PD+DC=PA+PB，即PC=PA+PB。

师：非常棒！ 那么用“补短法”又如何验证呢？

生4：如图3，延长BP至D，使PD=PA，连接AD，易证∠APC=∠ADB=60°、∠ACP=∠ABD、AC=AB，所以△ACP≌△ABD、PC=DB，又因为DB=PD+PB=PA+PB，所以PC=PA+PB。

师：非常好！经过验证，你们的猜想是正确的。

三、增加条件，变换结论

有了发现之后，学生兴趣大增。笔者趁热打铁，增加条件，变换结论，进一步激发学生的兴趣，培养其探索和创新能力。

师：如图4，A、P、B、C是⊙O上的四个点，∠APC=∠BPC=60°，过点A作AD⊥PC于D。判断线段PB、PD、CD的等量关系，并证明结论。

生1：CD=PD+PB。

师：用“截长法”如何验证？

生2：如图5，在CD上截取ED=PD，连接AE。易证∠AEC=∠APB=120°、∠ACE=∠ABP、AC=AB，所以△ACE≌△ABP，EC=PB，所以ED+EC=PD+PB，即CD=PD+PB。

师：太棒了！ 那么用“补短法”又如何验证呢？

生3：如圖6，延长BP至E，使PE=PD，连接AE。易证∠ADC=∠AEB=90°、∠ACD=∠ABE、AC=AB，所以△ACD≌△ABE、CD=BE。又因为BE=PE+PB=PD+PB，所以CD=PD+PB。

四、部分条件、结论互换

通过挖掘，有了发现，经过变换，有了提高，学生的兴趣越来越浓。笔者把部分条件、结论互换，进一步把探究引向深入。

师：再来看第一道例题，如图1，A、P、B、C是⊙O上的四个点，△ABC是等边三角形，求∠APC、∠BPC的度数。

生1：∠APC=60°，∠BPC=60°。

师：你是怎么发现的？

生1：因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠BAC=60°，∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°。

师：A、P、B、C是⊙O上的四个点，△ABC是等边三角形，求∠APC、∠BPC的度数。

生2：没变。

师：好好想想，“如图”与“无图”有什么区别？

生3：如图，需按指定图形数形结合;无图，则需自己画图，分类讨论。

师：没有“如图”的情况下，一定要规范画图，分类讨论。动手试一试吧！

生4：有三种情况。除了图1，还有图7、图8两种情况。

师：如何分类讨论呢？

生5：如图1，当点P在AB上时（不与点A、B重合），∠APC=60°、∠BPC=60°。

生6：如图7，当点P在AC上时（不与点A、C重合），∠APC=120°、∠BPC=60°。

生7：如图8，当点P在BC上时（不与点B、C重合），∠APC=60°、∠BPC=120°。

立足教材、变式整合，从变中总结解题方法、发现解题规律，从变中发现“不变”，既培养了学生思维的灵活性，又由表及里、由此及彼、举一反三，将学生的思维引向深处。

（作者单位：丹江口市均县镇初级中学）

责任编辑  张敏