李宝麟,王转红

(西北师范大学数学与统计学院,甘肃 兰州 730070)

1 引言

Kurzweil[1]于1957年提出的广义常微分方程理论在处理常微分方程、脉冲微分方程、滞后型泛函微分方程及拓扑动力系统等问题时有重要作用,已被许多作者进行深入广泛的研究,并取得了一些新的成果[2-4].以下区别于文献[5],没有利用常数变易公式而利用Kurzweil-Stieltjes积分理论和正则函数的性质,讨论了无限滞后脉冲测度泛函微分方程

解对参数的连续依赖性,所得结果是对文献[5–6]已有结果的推广.

方程(1)等价于积分方程

其中G:O×[t0,t0+σ]→Rn关于第一个变量是线性的,f:[t0,t0+σ]→Rn.符号yt:(-∞,0]→Rn,yt(τ)=y(t+φ),φ∈(-∞,0]表示滞后的长度,λ0∈R,ρ＞0,Λ ={λ0∈R:‖λ-λ0‖＜ρ}.为了证明主要的结果,先引入相关的定义和引理及一些符号的说明.

2 预备知识

L(Rn)表示由所有n×n阶实矩阵构成的集合,J⊂R是一个有限或无限的区间,‖·‖表示L(Rn)上的算子范数.对区间[a,b]的任何精细分划P,使得a=s0＜s1＜···＜si+1=b,若则函数 A(t)在 [a,b]上是有界变差的,BV([a,b],L(Rn))表示所有有界变差函数构成的全体.G*([a,b],L(Rn))表示所有正则函数A(t):[a,b]→L(Rn)的全体.

设O⊂G*((-∞,t0+σ],Rn)是一个开集且具有以下性质(延拓性质):如果y=y(t),t∈[t0,t0+σ]及∈[t0,t0+σ],那么(t)∈O且

显然,当y∈O⊂G*((-∞,t0+σ],Rn)时,对任意的t∈[t0,t0+σ]都有xt∈G*([-r,0],Rn).

定义2.1设G:Ω→Rn,Ω⊆O×[t0,t0+σ].称函数x:[α,β]→Rn为Kurzweil广义常微分方程

在区间 [α,β]上的一个解是指对所有的t∈[α,β],(x(t),t)∈G,有

成立,其中右端积分是函数U(τ,t)=G(x(τ),t)在[s1,s2]上的Kurzweil积分.当(3)式中的G(x,t)=A(t)x+g(t)时,称为Kurzweil广义线性常微分

引理2.2[2]设A∈BV([a,b],L(Rn)),g∈G*([a,b],Rn),称x:[a,b]→Rn为广义线性微分方程

满足初始条件x(t0)=x0∈X在区间[a,b]上的解,是指对任意的t∈[a,b],有

且x∈G*([a,b],Rn).

引理2.3[5]若g,gn∈G*([a,b],Rn),A,Ak∈BV([a,b],L(Rn)),对每个k∈N且

3 解对参数的连续依赖性

即y0为方程(17)的解,从而定理得证.

注定理3.1主要是对无限滞后脉冲测度微分方程解对参数的连续依赖性结果的证明,其结果是文[5–6]中相应结果的推广.当然,我们也可借助Φ-有界变差函数理论与Kurzweil方程理论建立方程(2)的Φ-有界变差解对参数的连续依赖性定理.