刘红炎

(武汉大学数学与统计学院,湖北武汉430072)

1 引言

边界唯一性定理是将Schwarz引理应用到边界上时产生的.1994年,Burns-Krantz[1]研究边界上的Schwarz引理,得到了全纯映射的一些刚性结果,也就是边界唯一性的结果,主要分别得到了在单位圆盘,单位球和强拟凸域上的一些结论.在单位球上的结论如下.

定理1.1[1](Burns-Krantz)设f:Bn→Bn是单位球到自身的全纯映射,满足当z→1时(这里1=(1,0,···,0))f(z)=z+O(|z-1|4),则f(z)≡z于单位球内.

自从Burns-Krantz的工作之后,边界Schwarz引理开始被越来越多的学者研究.例如2015年Liu-Wang-Tang做出了单位球中的一类边界Schwarz引理[2],2018年Tu-Zhang得到了对称双圆盘上的边界Schwarz引理[3].在1995年X.Huang将其做到有界弱拟凸域上和强凸域上[4],其在强凸域中设定一个不动点,然后把上述定理中的4次降到了3次.其在单位球上的相关结论如下.

定理1.2[4](Xiaojun Huang)设f:Bn→Bn是单位球到自身的全纯映射,满足当z→1时f(z)=z+O(|z-1|3)且f(z0)=z0,其中z0∈Bn,则f(z)≡z.

以上两个定理是在单位球上的经典结果,接下来看一下在Fock-Bargmann-Hartogs域上已有的结果.首先引入这类区域的定义,Fock-Bargmann-Hartogs域Dn,m定义如下

Fock-Bargmann-Hartogs域是一类无界强拟凸域,2013年Yamamori给出了这类域的Bergman核函数[5];2016年Bi-Feng-Tu给出了这个域上的平衡度量[6].可以从上述两个文献中更好地了解Fock-Bargmann-Hartogs域.

2006年,Baracco-Zaitsev-Zampieri将之前Burns-Krantz的边界唯一性结果推广到了强拟凸流形上[7],我们提取其在Fock-Bargmann-Hartogs域上的结论如下.

定理1.3[7](Baracco-Zaitsev-Zampieri)设f:Dn,m→Dn,m是从Fock-Bargmann-Hartogs域到自身的全纯映射,满足当(z,w)非切向逼近(1,0)时(这里0=(0,···,0))

则F(z,w)≡(z,w).

2018年,Liu-Chen-Pan得到了一种单位球上不等维的边界唯一性定理[8],他们将f第一个分量函数设定为仅关于z第一个分量的恒等函数,并在边界点1增加了C2的条件之后也得到了可以把指……