刘红炎

(武汉大学数学与统计学院,湖北武汉430072)

1 引言

边界唯一性定理是将Schwarz引理应用到边界上时产生的.1994年,Burns-Krantz[1]研究边界上的Schwarz引理,得到了全纯映射的一些刚性结果,也就是边界唯一性的结果,主要分别得到了在单位圆盘,单位球和强拟凸域上的一些结论.在单位球上的结论如下.

定理1.1[1](Burns-Krantz)设f:Bn→Bn是单位球到自身的全纯映射,满足当z→1时(这里1=(1,0,···,0))f(z)=z+O(|z-1|4),则f(z)≡z于单位球内.

自从Burns-Krantz的工作之后,边界Schwarz引理开始被越来越多的学者研究.例如2015年Liu-Wang-Tang做出了单位球中的一类边界Schwarz引理[2],2018年Tu-Zhang得到了对称双圆盘上的边界Schwarz引理[3].在1995年X.Huang将其做到有界弱拟凸域上和强凸域上[4],其在强凸域中设定一个不动点,然后把上述定理中的4次降到了3次.其在单位球上的相关结论如下.

定理1.2[4](Xiaojun Huang)设f:Bn→Bn是单位球到自身的全纯映射,满足当z→1时f(z)=z+O(|z-1|3)且f(z0)=z0,其中z0∈Bn,则f(z)≡z.

以上两个定理是在单位球上的经典结果,接下来看一下在Fock-Bargmann-Hartogs域上已有的结果.首先引入这类区域的定义,Fock-Bargmann-Hartogs域Dn,m定义如下

Fock-Bargmann-Hartogs域是一类无界强拟凸域,2013年Yamamori给出了这类域的Bergman核函数[5];2016年Bi-Feng-Tu给出了这个域上的平衡度量[6].可以从上述两个文献中更好地了解Fock-Bargmann-Hartogs域.

2006年,Baracco-Zaitsev-Zampieri将之前Burns-Krantz的边界唯一性结果推广到了强拟凸流形上[7],我们提取其在Fock-Bargmann-Hartogs域上的结论如下.

定理1.3[7](Baracco-Zaitsev-Zampieri)设f:Dn,m→Dn,m是从Fock-Bargmann-Hartogs域到自身的全纯映射,满足当(z,w)非切向逼近(1,0)时(这里0=(0,···,0))

则F(z,w)≡(z,w).

2018年,Liu-Chen-Pan得到了一种单位球上不等维的边界唯一性定理[8],他们将f第一个分量函数设定为仅关于z第一个分量的恒等函数,并在边界点1增加了C2的条件之后也得到了可以把指数估计降低一阶的结果,而且直接做出不等维情形的结果.如下定理是他们的主要结论.

定理1.4[8](Liu-Chen-Pan)设f:Bn→BN,N≥n≥1是从单位球Bn到BN的全纯映射,满足当z→1时

若f在点1处是C2的,并且f1(z)=z1,这里f1是f的第一个分量函数,z1是z的第一个坐标分量,则f(z)≡(z,0).

受到他们的启发,本文得到了一些不等维的边界唯一性定理的结果,也就是对Burns-Krantz型定理从等维情形推广到不等维情形.

2 主要定理

这一节介绍本文的主要结果及其证明,本节前三个定理是对上一节中叙述到的边界唯一性定理的推广,后两个定理是受前述结果启发做出的边界唯一性定理的结果.首先将Burns-Krantz单位球上的定理1.1推广为不等维单位球之间的定理.

定理2.1设f:Bn→Bm,n≤m是一个全纯映射,满足当z→1时有

则f(z)≡(z,0).

证n≤m,f=(f1,f2,···,fm),令g=(f1,···,fn). 由于

则g是一个从单位球Bn到自身的全纯映照.注意到定理中的条件f(z)=(z,0)+O(|z-1|4),(z→1)再结合如下不等式|g(z)-z|≤|f(z)-(z,0)|,得到

此时g(z)满足定理1.1中的条件,则g(z)≡z.

设f=(g,h),当z→∂Bn,z∈Bn时,有|g|→1,而|g|2+|h|2=1,则|h|→0.由全纯函数的最大模原理可以得到:h=0.故f(z)≡(z,0).定理2.1证毕.

注2.1以上定理中有n≤m的条件,是由于当n＞m时,并不能有类似推广.也就是说如果f:Bn→Bm,n＞m是全纯映照,满足当z→1时有

此时不能得到f(z)≡(z1,z2,···,zm).

则f是从Bn到Bm的全纯映照,并且满足式(2.1)的条件,但f(z)/=(z1,z2,···,zm).注2.1完毕.

然后注意到类似上述定理2.1的方法还可以用来将1995年Huang的结果(定理1.2)推广到不等维的单位球之间,如下定理结论.

定理2.2设f:Bn→Bm,n≤m是一个全纯映射,满足当z→1时有

且存在z0∈Bn使f(z0)=(z0,0),则f(z)≡(z,0).

证n≤m,f=(f1,f2,···,fm). 令g=(f1,f2,···,fn),由于

则g是一个从单位球Bn到自身的全纯映照.注意到定理中的条件f(z)=(z,0)+O(|z-1|3),(z→1)再结合如下不等式|g(z)-z|≤|f(z)-(z,0)|,得到

由于f(z0)=(z0,0),故g(z0)=z0.于是g(z)满足定理1.2中的条件,则g(z)≡z.

令f=(g,h),当z→∂Bn,z∈Bn时,有|g|→1,又|g|2+|h|2=1,则|h|→0.由全纯函数的最大模原理可以得到:h=0.故f(z)≡(z,0).定理2.2证毕.

对于定理2.2也有类似定理2.1的注记,即在n＞m时没有类似推广,可以列举出相应反例.

以上两个定理就是本文在单位球上的主要结论.接下来将着眼于本文探讨的第二类区域,Fock-Bargmann-Hartogs域,下述定理是本文在此区域上的第一个主要定理,是将2006年Baracco-Zaitsev-Zampieri的定理1.3推广到不等维.

定理2.3设F:Dn,m→DN,M,n≤N,m≤M是一个全纯映射,满足当(z,w)非切向逼近(1,0)时有

则F(z,w)≡(z,0,w,0).

证F=(f,g)=(f1,f2,···,fN,g1,g2,···,gM). 令G=(f1,···,fn,g1,···,gm),注意到如下不等式

则G是一个从Fock-Bargmann-Hartogs域Dn,m到自身的一个全纯映照.注意到定理中的条件当(z,w)非切向逼近(1,0)时

再结合如下不等式

得到当(z,w)非切向逼近(1,0)时

此时G(z,w)满足定理1.3中的条件,则G(z,w)≡(z,w),即

注意如下不等式

当(z,w)→∂Dn,m,(z,w)∈Dn,m时,有|z|2→e-μ|w|2.则由上述不等式可知

由全纯函数的最大模原理可以得到fn+1=···=fN=gm+1=···=gN=0,(z,w)∈Dn,m.故F(z,w)≡(z,0,w,0).定理2.3证毕.

受Liu-Chen-Pan固定一个分量函数为对应坐标恒等函数的启发,本文得到一个Fock-Bargmann-Hartogs域上的固定坐标分量函数的不等维边界唯一性定理结论,这里的估计次数是3次,对坐标分量及边界点处的条件要求比较高,定理结论及证明如下.

定理2.4设F:Dn,m→DN,M,n≤N,m≤M是一个全纯映照,是Dn,m的边界点.当时,有

设F=(f,g)=(f1,···,fN,g1,···,gM),F在点处是C2的,f1(z,w)=z1,gi(z,w)=wi,1≤i≤m,则F(z,w)≡(z,0,w,0).

证固定w0,将F(z,w0)看做关于z的全纯映射.当时有

注意到

对f(z,w0)的范围作如下估计

则f(z,w0)是如下关于z的全纯映照

由题设条件知,f(z,w0)在点处是C2的.接下来考虑则其是定义在单位球Bn上的全纯映射,且有当时,成立

这也就是当z→(1,0,···,0)时成立

构造函数

则h:Bn→BN是从单位球Bn到BN的全纯映照,h在点(1,0,···,0)处是C2的.由于f1(z,w0)=z1,由h的表示式可以看出h1(z)=z1.并且由(2.2)式知当z→(1,0,···,0)时有

则由定理1.4得h(z)≡(z,0),z∈Bn.进而得到f(z,w0)=(z,0).由w0的任意性,f(z,w)=(z,0).故F(z,w)=(z,0,w,gm+1,···,gM).注意如下不等式

此时令(z,w)→∂Dn,m,(z,w)∈Dn,m,则|z|2→e-μ|w|2.则由上述不等式知|gm+1|2+···+|gM|2→0,因此由全纯函数的最大模原理得gm+1=···=gM=0.故F(z,w)≡(z,0,w,0).定理2.4证毕.

然后继续顺着上述定理2.4的思路,得到一个类似Burns-Krantz定理(定理1.1)推论的一个在Fock-Bargmann-Hartogs域上的结果,其与定理2.4条件相比较减少了一个边界点处正则性的条件,少固定了一个分量,但其估计次数是4次.此定理结果表述如下.

定理2.5设F:Dn,m→DN,M,n≤N,m≤M是一个全纯映照,是Dn,m的边界点.当时,有

设F=(f,g)=(f1,···,fN,g1,···,gM),其中gi(z,w)=wi,1≤i≤m,则F(z,w)≡(z,0,w,0).

证用类似定理2.4中证明的方法,将w0固定,则可以把F(z,w0)看作是关于z的全纯映射.由于当时有

注意到

对f(z,w0)的范围作如下估计

则f(z,w0)是如下关于z的全纯映照

这也就是当z→(1,0,···,0)时成立

构造函数

则h:Bn→BN是从单位球Bn到BN的全纯映照,由(2.3)式知当z→(1,0,···,0)时有

则由定理2.1得h(z)≡(z,0),z∈Bn.进而得到f(z,w0)=(z,0).由w0的任意性,f(z,w)=(z,0).故F(z,w)=(z,0,w,gm+1,···,gM).注意如下不等式

再令(z,w)→∂Dn,m,(z,w)∈Dn,m,则|z|2→e-μ|w|2.则由上述不等式知|gm+1|2+···+|gM|2→0.由最大模原理得gm+1=···=gM=0.故F(z,w)≡(z,0,w,0).定理2.5证毕.