李宝麟,席 娅

(西北师范大学数学与统计学院,甘肃 兰州 730070)

1 引言

如果扰动项g(x,t)是连续可积的,那么受扰动之后的系统仍旧是常微分方程,它的解仍旧是连续的,如果扰动项是脉冲型的,那么扰动之后系统的状态就不会随着时间连续变化而变化,而是呈现出一种瞬时状态.为了研究这类问题,我们对上述方程加上一种脉冲型的扰动,这就给出如下形式的方程

其中Dx和Du分别表示函数x和u的分布导数.形如(1.1)的方程叫做测度微分方程.由于测度微分方程的解没有连续性,又没有随机系统那么复杂,因此,我们可以说测度微分方程是一种不同于经典不连续系统的新的不连续系统.测度微分方程已经被很多学者研究(见文献[1–4]).

在文[5]中Dannan和Elaydi研究了常微分方程的Lipschitz稳定性;文[6]中作者讨论了一类脉冲微分系统的Lipschitz稳定性;文[7]中作者给出了脉冲泛函微分方程的Lipschitz稳定性;文[8]中作者建立了广义常微分方程的变差一致Lipschitz稳定性,一致Lipschitz稳定性和一致整体Lipschitz稳定性,并通过滞后型脉冲微分方程在一定条件下与广义常微分方程的等价关系,讨论了滞后型脉冲微分方程的Lipschitz稳定性.本文是在文[8]的基础上,通过测度微分方程与广义常微分方程的等价关系,定义了测度微分方程

和扰动后的测度微分方程

的变差一致Lipschitz稳定性,一致Lipschitz稳定性和一致整体Lipschitz稳定性,并建立了测度微分方程和扰动后的测度微分方程的Lipschitz稳定性定理.方程(1.2)和方程(1.3)的等价方程为

和

其中f:Bc×[t0,+∞)→Rn,Bc={y∈Rn,‖y‖＜c},g:[t0,+∞)→R,p:[t0,+∞)→Rn是比……