唐树安,冯小高

(1.贵州师范大学数学科学学院,贵州贵阳 550001)

(2.西华师范大学数学与信息学院,四川南充 637002)

1 引言

用Δ={z:|z|＜1}表示全平面C上的单位圆盘,用S1={z∈C:|z|=1}表示单位圆周.如果单位圆Δ内一个复值函数f满足

单位圆Δ内的调和映射f具有标准的分解f=h+,其中h和g在Δ内解析且g(0)=0.通过Lewy定理(见文献[1,2]),知道f是局部单叶的当且仅当f的雅可比行列式Jf=|h′|2-|g′|2在单位圆Δ内不为零.因此,如果f在单位圆内是局部单叶的,则或者Jf＞0,或者Jf＜0.如果雅可比行列式Jf＞0,称f是保向的;如果Jf＜0,则称其是反向的.对于一个保向的局部单叶调和映射f,是单位圆内的一个解析函数且|ωf|＜1,称之为f的第二复伸缩商.

设f是区域Ω上一个保向同胚,k是一个实数且0≤k＜1,如果f在Ω内的水平和垂直线上是绝对连续的,且满足下列方程

则称f是Ω内的一个k-拟共形映射,其中μ(z)被称为f复伸缩商且‖μ‖∞≤k＜1.0-拟共形映射是共形映射.f的第二复伸缩商定义为注意到|ωf|=|μf|,所以f是拟共形映射当且仅当|ωf|≤k＜1(见文献[3,4]).

设φ是Δ内的局部单叶解析函数,它的pre-Schwarian导数Pφ和Schwarian导数Sφ定义为

Nehari在文献[5]中证明如果Δ内的局部单叶解析函数φ满足

则φ在Δ内单叶.后来,Ahlfors和Weil在文献[6]中将这一结果推广,他们证明如果局部单叶解析函数φ满足

这里0≤t＜1,则φ在Δ内单叶且可以t-拟共形延拓至全平面C.

利用pre-Schwarzian导数,Becker在文献[7]中证明如果单位圆内的局部单叶解析函数φ满足

那么φ在Δ内单叶且可以拟共形延拓至整个复平面C.Ahlfors在文献[8]中具体构造这样一个拟共形映射.

设f是单位圆Δ内一个局部单叶调和映射,具有标准分解f=h+,它的pre-Schwarzian导数……