杨永亮,王福胜,甄 娜

(太原师范学院数学系,山西 晋中 030619)

1 引言

半无限minimax优化问题是一类非常重要的优化问题,有着广泛的应用背景,例如工程设计、最优控制、金融工程等领域的很多问题可以归结为求解这类优化问题,很多学者对此进行了研究,获得了丰富的研究成果(如文献[1–12]).由于其特殊的结构,大多数传统的方法不再适用,离散化方法是求解这类型问题的重要数值方法之一(如文献[1–8]).半无限minimax问题具有如下形式

其中指标集Y=[1,2,···m],f:Rn×Y→R,关于x,y都连续可微关于x连续可微g:Rn×[0,1]→R.为了方便起见,记问题(1.1)的可行集X和水平集l(x0,Ω)：

离散化方法的主要思想通过不断离散连续变量的连续区间来逼近约束函数,将求解半无限规划问题转化为求解其离散后的一系列有限约束优化问题.将Ω离散成有限集：其中q反映了离散水平,q越大离散水平越好.定义Ω和ΩE之间的Hausdorff 距离为其中集列满足条件

基于离散化方法求解原问题(1.1)可归结为求解一系列具有如下形式的minimax离散化问题:

在一定的条件下,当dist(ΩE,Ω)→0时式(1.3)的最优解趋向于原问题(1.1)的最优解.当q非常大的时候,问题(1.3)的约束个数非常多,求解的成本也会很高,如何设计高效的算法求解问题(1.3)是解决半无限minimax问题的一个关键.文献[5]提出了一种求解半无限规划问题的超线性收敛的模松弛SQP算法,每次迭代只需要求解一个QP子问题就可以获得搜索方向,遗憾的是上述算法要求初始点可行,而通常求解可行点的计算量很大.为了克服这一……