高天意

数学，可不仅仅是符号、数字和方程式这些我们天生就不熟悉的东西，它还包括了各种各样的图形。图形我们可就熟悉了，即使没有学过数学，我们也可以从生活中认识到很多图形——例如像三角豆腐一样拥有三个尖角的三角形、像椅子坐垫一样方方正正的正方形，像橡皮筋一样环绕一圈的圆形。当数学问题能用图形表示的时候，是非常有利于人们理解和记忆的，本文利用图形对勾股定理及其延伸出来的几个等式的解释来说明这个问题。

勾股定理中的三个数能是连续的吗？

勾股定理可能是我们学过的最早的数学定理之一，它的表现形式是：a2+b2=c2，意为直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。有人问，勾股定理里的a、b、c能是连续的三个整数吗？这个问题不难解答，令b=a+1，c=a+2，代入原方程并化简得a2-2a-3=0。这个方程有两个解a=-1或3。-1不可取，所以这连续的三个数为3、4、5。我们知道能满足勾股定理三个数的组合有无数种，而连续的组合就仅仅只有这一种，够巧妙吧。我们以这个组合说明图形解释数学问题的巧妙之处。

因为正方形的面积等于其边长的平方，我们可以把a2、b2、c2理解为三个边长分别为a、b、c的正方形的面积。当a、b、c分别为3、4、5时，将这三个正方形在直角三角形上画出来，如图①所示。

图中的每一个正方形都被分割成一个个边长为1的正方形——边长为3的正方形被分成了9个边长为1的正方形，边长为4的正方形则被分成了16个，而边长为5的正方形被分成了25个。……