李孟泽，纪 妍，陈 刚，李玉鹏

（中国矿业大学矿业工程学院工业工程系，江苏 徐州 221116）

1 引言

当前，制造企业的战略重点正在从生产优质产品转向为客户提供满意的服务，产品服务系统（Product Service System，PSS）作为一种为客户维护产品功能的新兴概念应运而生，它能够优化资源使用，提高企业竞争力[1-2]。方案评价是PSS设计与开发过程中的重要环节，评价结果的合理与否直接决定了设计的成败[3]。由于产品具有确定性而服务具有主观性、不确定性等特点，因此，PSS方案评价是一类典型的混合型多属性决策问题。本研究针对含有区间变量、不确定语言变量和混合不确定变量的混合型多属性决策赋权问题，选用改进的熵权法进行指标赋权，该方法具有采用模糊变量进行决策的柔性化优势，不会产生信息丢失，并能够提高决策结果的可靠性。

信息公理是公理化设计（Axiomatic Design，AD）最重要的公理之一，可用于衡量产品/服务的实现程度[4]。现存的信息公理方法，大多只考虑随机性或模糊性，而在现实情况下中，由于顾客感知是模糊的且提供服务的过程存在大量不确定性因素，评价指标的模糊性与随机性共存[5]。将同时具有模糊性与随机性特征的指标称为混合不确定指标，此时，信息公理被推广为混合不确定信息公理[6]。目前，针对混合不确定信息公理的相关研究较少。文献[6]开发了基于可信性理论的期望值信息量模型和基于机会约束规划模型的可信性信息量模型，并通过模糊模拟方法和遗传算法计算方案信息量。文献[7]基于模糊模拟方法，在模糊设计范围的λ-截集范围内随机生成一系列积分上下限，进而对积分结果加权求和，得到了模糊积分值。上述有关信息量的计算过程较为复杂，考虑将模糊数反模糊化，得到确定的积分上下限，进而直接计算方案的信息量。

综上所述，针对含有区间变量、不确定语言变量和混合不确定变量的PSS方案评价问题，首先选用改进的熵权法进行指标赋权：采用线性变换法分别对上述三类数据进行规范化，进而运用不同的距离公式求出各指标之间的偏差，利用熵权法确定各个指标的权重；其次，分别采用传统信息公理、模糊信息公理和所提出的混合不确定信息公理方法计算三类指标的信息量；最后，将各个指标的信息量加权求和得到方案的信息量，按信息量最小确定出最优方案。

2 基础理论

2.1 信息公理基础理论

式中：f（FRi）—FRi，在当前系统的概率分布，dru[6]、drl[6]—设计范围的上限和下限。

在混合不确定信息公理中，系统范围被建模为随机变量，dru和drl被建模为模糊变量[6]。不失一般性，以三角模糊数表示dru和drl，因此难以确定被（dru和drl）覆盖的区域是否属于设计范围。为此，引入模糊数反模糊化计算混合不确定指标的信息量。

2.2 反模糊化基础理论

2.3 熵权法基础理论

熵权是对系统中随机变量的一种不确定性度量，根据参数值的变化程度所反映的信息量来确定权重的大小，指标的变化程度越小，其在评价体系中的作用就越小，该指标被赋予的权重就应越小，反之亦然[10]。

3 研究框架

对于产品服务系统方案评价的混合多属性决策问题，方案集表示为 X=｛x1，x2，…，xi，…，xm｝，评价指标集表示为 C=｛c1，c2，…，cj，…，cn｝，指标属性权重集表示为 ω=｛ω1，ω2，…，ωj，…，ωn｝。这里的PSS方案评价整体研究框架，如图1所示。

图1 PSS方案评价研究框架Fig.1 Reserch Framework of PSS Scheme Evaluation

3.1 对备选方案的初始决策矩阵进行标准化处理

3.1.2 不确定语言变量

根据模糊语言－模糊数转换规则，以五级语言评价集，将模糊语言转换为规范化三角模糊数结果，如表1所示。

表1 不确定语言变量规范化表Tab.1 Indeterminate Language Variable Normalization Table

3.1.3 混合不确定变量的模糊设计范围

3.2 基于熵权法求解各指标的客观权重

以d（xij，xkj）表示变量xij与xkj之间的距离，各类变量之间的距离的计算公式如下：

3.3 对混合不确定变量的模糊上下限进行反模糊化

3.4 计算各评价指标的信息量

（1）求区间型评价指标的信息量

（2）求模糊语言型评价指标的信息量

根据文献[12]提出的模糊信息公理计算不确定语言变量的信息量。

3.5 汇总各评价方案的信息量，排序选优

4 实例验证

4.1 案例分析

A公司是国内一家汽车制造企业，主要提供的产品包括整台汽车及其配套服务。目前该公司计划实施一套新的汽车PSS，旨在通过提供优质配套服务避免汽车的同质化。在早期设计阶段，根据顾客需求和设计目标确定了7种备选方案X=｛x1，x2，…，xi，…，x7｝。针对这些方案，使用所提方法进行评价。

在早期设计阶段，由质量功能展开（QFD，quality function deployment）确定的FRi得到评价指标结果，如表2所示。各指标的设计范围由各决策专家给出。模糊和混合不确定指标设计范围的评价术语集和隶属度函数[7]，如图2所示。

系统范围由生产工程师、服务工程师和其他决策专家根据经验、知识、企业经营过程中积累的大量历史数据等进行统计分析得到。采用正态分布来描述混合不确定指标c6，c7，c8，c9的系统范围。各备选方案对应的各指标的系统范围，如表3所示。

表2 PSS方案评价指标表Tab.2 Indicator Table of PSS Scheme Evaluation

图2 模糊和混合不确定指标设计范围的评价术语集和隶属度函数Fig.2 Evaluation Term Sets and Membership Functions for Design Ranges of Fuzzy and Mixed Uncertainty Indicators

表3 各方案中每个指标的系统范围Tab.3 System Scope for Each Indicator in Each Scheme

根据所提方法，对7个备选方案进行评价选优，具体步骤如下：（1）根据式（10）～式（13），对各方案的各指标评价值进行标准化处理。（2）根据式（6）～式（9）和式（14）～式（16）计算各指标权重，如表 4 所示。（3）根据式（4）式与（5）对混合不确定指标 c6，c7，c8，c9的模糊积分上下限进行反模糊化，得到确定值，如表5所示。（4）计算各方案的各个指标的信息量大小：①对于区间变量c1的信息量，根据式（17）采用传统信息公理计算；②对于不确定语言变量 c2，c3，c4，c5的信息量，根据文献[12]提出的模糊信息公理计算；③对于混合不确定型变量 c6，c7，c8，c9的信息量，根据式（18）采用所提方法计算。（5）根据公式（19），得到各方案的总信息量，排序结果，如表6所示。由表6可知，方案的排序结果为a7＆gt;a4＆gt;a3＆gt;a2＆gt;a6＆gt;a5＆gt;a1，其中a7是最优的PSS方案。

表4 各指标权重Tab.4 Weight of Each Indicator

表5 积分上下限的转化值Tab.5 Conversion Value of Upper and Lower Bounds of the Integral

表6 各方案信息量的排序Tab.6 Order of Information in Each Scheme

4.2 灵敏度和稳定性分析

在信息公理中，设计者根据历史数据或经验来确定每个指标的系统范围，不同设计者可能对同一指标设定不同的评价值，这可能会影响最终的排序结果。分别选取权重较小的指标和权重较大的指标两次改变其系统范围，第一次改变指标c6，c7，c9的系统范围，第二次改变指标c8的系统范围，结合两次计算结果进行分析，验证所提方法的鲁棒性。由于均值对最终排序结果的影响比离差大得多，在此，只考虑均值的变化，将平均值设置为在原始值的0.95倍和1.05倍之间波动。将c6，c7，c9的系统范围的均值分别改变0.95倍和1.05倍后，方案的信息量排序结果均不变；将c8的系统范围的均值改变0.95倍后，只有一对方案（a5，a6）的排序交换了，将c8的系统范围的均值改变1.05倍后，方案的信息量排序结果不变。由此可知，所提方法具有较强的鲁棒性。

4.3 方法对比

采用文献[7]所提的模糊模拟方法对表2和表3中的数据进行分析计算，并将排序结果与这里的最终排序结果进行一次对比结果，如表7所示。分别将确定型变量、模糊语言变量和混合不确定变量去模糊化，进而采用文献[13]所提最大熵准则对上述三类指标赋权，得到权重向量 ω*=｛0.10，0.12，0.09，0.13，0.14，0.06，0.09，0.16，0.11｝，重新计算方案信息量进行二次对比结果，如表8所示。由表7和表8可知，两次对比最优方案与这里一致均为a7，其他方案排序基本相同，且相比之下，所提方法计算更为简便。因此，所提方法具有一定的可行性、有效性和简便性。

表7 方案排序一次对比Tab.7 First Comparison of Scheme Ranking

表8 方案排序二次对比Tab.8 Second Comparison of Scheme Ranking

5 结语

针对汽车产品服务系统方案评价中指标的模糊性与随机性共存情况，提出了一种计算较为简便的基于混合不确定信息公理的方案评价方法。通过决策矩阵的归一化，求出各评价方案之间的偏差；根据各方案间的偏差，利用熵权法求出各个评价指标的权重，确定各指标的相对重要程度；结合重心法与中心法，将混合不确定指标的模糊设计范围解模糊化，得到确定的积分上下限；基于指标权重和信息公理，对各评价方案的综合信息量进行运算和排序。最后，通过对某公司汽车PSS评价方案的实例研究和方法结果的两次对比，验证了所提方法对混合不确定环境下的复杂评价问题的可行性、有效性和简便性。