马洪伟，杨白玫，戚建明，朱培培

(上海电机学院 商学院，上海 201306)

1 背景介绍

零售企业总是希望整体利润最大，或是库存成本最小，但是在采购过程中，多数零售企业会面临两类问题.问题1: 供应商的供货能力有限.受到供应商自身生产能力的限制，供应商在固定时期只能供给一定数量的商品.问题2: 供应商的采购成本结构有差异，大致可以分为两类供应商.一类供应商的采购只需要支付产品单价，即可变采购成本；另一类供应商的采购则需要同时支付固定订货费用和可变采购成本.因此，如何有效地解决上述两类问题，找到使得企业库存成本最小化的订货策略，对企业来说格外重要.

本文主要针对具有固定采购成本和有限订货容量的定期盘点库存系统进行研究.Chen等[1]指出，该类型库存系统的最优策略具有s-S边界.Gallego等[2]深入分析了s-S边界间的策略结构.在Gallego等[3]考虑的库存系统中，订货数量只能选择最大容量，或选择不订货.但是，上述研究都只是面对同一类供应商，不涉及不同采购成本结构的供应商选择.也有一些学者对具有固定采购成本和有限容量的连续盘点生产/库存系统进行了研究.例如，De Kok[4]研究了单一产品生产/库存系统，在该系统中不允许缺货.Li[5]对一个允许使用随机强度的点过程的生产系统进行了研究，开发了该系统的最优生产策略.不少学者对多产品的生产/库存系统也做了研究.例如，Zheng等[6]考虑了用一种设备生产两种不同产品的系统.该系统被构建成一个具有优先权的排队模型.在此基础上，探讨了合作的潜在收益.Benjaafar等[7]假定当设备进行生产品种转换时，在产生转换时间的同时，也会产生转换成本.研究表明:库存成本的增长率与需求和流程差异性、需求和生产约束水平、转换时间等密切相关.Feng等[8]考虑了一个生产容量、需求和工艺时间均不确定的随机制造系统，并探讨了该系统的最优控制策略.在该系统中，假设生产设备的损坏是随机发生的.但是，此类研究同样没有考虑生产成本结构的不同.

供应商选择问题的研究有: Fox等[9]研究的定期盘点库存系统中，决策者面对的两个供应商的成本结构有较大差异，由此得到一个可简化成(s,S)形式的最优策略；Chen等[10]利用近似-K-凹函数的性质，研究了具有凹函数的订货成本的定期盘点库存系统，指出该系统的最优策略具有(s,S,p)的形式；陈静等[11]基于完全信息下单周期两级供应链的采购合约决策模型，研究制造商如何利用商业保险管理供应链质量风险的问题；黄亚江等[12]基于模糊层次分析法，对建筑信息模型(Building Information Modeling, BIM)软件的供应商选择问题进行了研究；李民等[13]基于第四方物流供应商的特征分析，挖掘出影响第四方物流供应商选择的主导因素并构建了评价指标体系；罗振华等[14]将改进肯特指数法(Kent index method)引入绿色建筑部品供应商评价，建立选择评价模型，将评价体系与指标模型应用于实际案例，为绿色建筑部品供应商的选择提供理论依据.

本文基于对供应商采购成本的结构分析，根据采购成本结构的不同将供应商分为两类: 一类供应商的采购仅需花费可变采购成本；另一类供应商的采购需同时花费固定采购成本和可变采购成本.与此同时，受到供应商生产能力的限制，向两类供应商的采购都会受到订货容量的限制.单个企业决策变量为当期采购对象和采购数量.通过构建相符的数学模型，寻找合适的供应商选择策略，开发最优订货策略，最终实现企业的库存成本最小化.

2 构建模型

该模型为单周期模型.在模型中，各项活动发生顺序如下: 首先，决定向哪位供应商采购和具体的采购量；其次，发生补货；然后，进行销售；最后，处理期末库存，计算利润.仅考虑两个库存成本构成不同的供应商，同时，只能选择向一位供应商进行采购.如果向供应商1进行采购，只需要支付可变采购成本，设其单位可变采购成本为c1.如果向供应商2进行采购，则需要支付固定采购成本K和可变采购成本，设其单位可变采购成本为c2.这里假设c1>c2.同时，假设向两位供应商采购均会受到采购容量C的限制，即每次采购量不能超过C.

完成销售后，如果期末有剩余库存y，则需要进行处理.假设对应库存的处理成本为H(y)=hy+，这里y+=max{y，0}，其中h>-c2.这意味着h可以大于零，也可以小于零.如果h大于零，说明处理多余库存是需要付出成本的；如果-c2

由于是单周期库存管理模型，所以期初的库存水平为零.假设Ri(x)为向供应商i采购x时的总利润.

1) 如果向供应商1进行采购，则只需要支付可变采购成本，此时总利润为

R1(x)=PE[min{x,Dn}]-c1x-E[H(x-Dn)].

(1)

2) 如果向供应商2进行采购，则需要支付固定采购成本K和可变采购成本，此时总利润为

R2(x)=PE[min{x,Dn}]-KI[x>0]-c2x-E[H(x-Dn)].

(2)

这里I[A]为指示函数.当状态A为真时，指示函数I[A]的值为1；当状态A为假时，指示函数I[A]的值为0.这说明: 当向供应商2的采购量大于零时，需要同时支付固定采购成本K和可变采购成本；如果向供应商2的采购量为零，即不采购，则不需要支付固定采购成本K.

通过比较企业只向供应商1和只向供应商2采购的最大利润，选择向哪位供应商采购，并确定最佳采购量.因此，整个系统的目标函数为

max{R1(x),R2(x)}
s.t. 0≤x≤C.

3 模型分析

为了寻找整个系统的最优决策，可以先对每个供应商的成本函数进行分析，寻找使得企业利润最大化的决策.然后将两个策略进行比较，从而找到整个系统的最优策略.

3.1 供应商1的成本函数分析

供应商1的成本函数比较简单，可以直接得出其最小成本和对应的决策.

PE[min{DM+1,Dn}]-c1DM+1-E[H(DM+1-Dn)]M=1，2，…，N-1

.

证明略.

由引理1可知，如果向只需要支付可变采购成本的供应商采购，最佳采购量必然是未来可能存在的需求量之一.如果低于最佳采购量进行采购，则平均每增加1单位的采购量带来的期望边际利润高于单位成本；如果高于最佳采购量进行采购，则平均每增加1单位的采购量带来的期望边际利润低于单位成本.

根据引理1和采购容量不能超过C的限制，易得定理1.具体证明省略.

定理1向供应商1采购的最优策略为x=min{DM+1,C}.

3.2 供应商2的成本函数分析

与引理1类似，容易得出引理2，具体证明省略.

但是，由于向供应商2采购时，不仅要支付可变采购成本，还要支付固定采购成本.所以在确定最优采购策略时，还要兼顾总利润非负的约束.因为如果销售收入减去可变采购成本和库存处理成本后，剩余的收益无法满足固定采购成本的需要，那还不如不订货.因而，根据引理2和供应商2的成本函数，可以得出如下定理.

定理2向供应商2采购的最优策略如下:

1) 当K

2) 当K≥PE[min{min{DJ+1,C},Dn}]-c2min{DJ+1,C}-E[H(min{DJ+1,C}-Dn)]时，最优策略为不采购.

3.3 总体最优策略

通过对供应商1和供应商2的成本函数进行分析，得出该系统的整体最优策略.

定理3该系统整体最优策略如下:

1) 若

PE[min{min{DM+1,C},Dn}]-c1min{DM+1,C}-E[H(min{DM+1,C}-Dn)]>
PE[min{min{DJ+1,C},Dn}]-K-c2min{DJ+1,C}-E[H(min{DJ+1,C}-Dn)]，

此时，最优策略为向供应商1采购，最优采购数量为x=min{DM+1,C}；

2) 若

PE[min{min{DM+1,C},Dn}]-c1min{DM+1,C}-E[H(min{DM+1,C}-Dn)]<
PE[min{min{DJ+1,C},Dn}]-K-c2min{DJ+1,C}-E[H(min{DJ+1,C}-Dn)]，

此时，最优策略为向供应商2采购，最优采购数量为x=min{DJ+1,C}；

3) 若

PE[min{min{DM+1,C},Dn}]-c1min{DM+1,C}-E[H(min{DM+1,C}-Dn)]=
PE[min{min{DJ+1,C},Dn}]-K-c2min{DJ+1,C}-E[H(min{DJ+1,C}-Dn)]，

此时，向供应商1和供应商2采购均可，向供应商1采购的最优数量为x=min{DM+1,C}，向供应商2采购的最优数量为x=min{DJ+1,C}.

其实，条件(1)包含两种情况.(ⅰ) 向供应商2采购的最优策略是不采购，此时，向供应商2采购的最大利润是0.无论向供应商1采购的策略是什么，最大利润都肯定高于0，所以选择向供应商1采购.(ⅱ) 向供应商2采购的最优策略是采购特定的数量，但是最大利润低于向供应商1采购的最大利润，所以还是选择向供应商1采购.

4 数值实验

以上探讨了向两个库存成本构成不同的供应商进行采购的最优策略，下面将通过数值实验来分析参数K，C对最优策略的影响.

基本参数假设如下: 供应商1的单位可变采购成本为c1=10，供应商2的固定采购成本K=5，单位可变采购成本c2=8，产品单价为P=16，采购容量C=10.在单个周期中，系统可能面临的需求的最小为5，最大为15，各需求之间的差值为1，各需求对应的概率为p=[0.02,0.06,0.12,0.12,0.08,0.06,0.15,0.18,0.16,0.04,0.01]，单位库存的处理成本h=2.

4.1 固定采购成本K的影响

首先，考虑固定采购成本K对最优策略的影响.此时，假定其他参数值固定，固定采购成本K最小值为0，最大值为70，各取值之间差值为5，获得15组数据.固定采购成本K对最优策略和最大利润的影响如图1所示，对最优优采购量的影响如图2所示.

图1 固定采购成本K对最优策略和最大利润的影响Fig.1 The influence of fixed cost K on optimal policy and maximum profit

图2 固定采购成本K对最优采购量的影响Fig.2 The influence of fixed cost K on optimal purchasing volume

通过上述分析发现:

1) 固定采购成本K对供应商1的采购数量和最大利润没有影响，这是非常明显的，因为固定采购成本K只涉及到供应商2；

2) 固定采购成本K对供应商2的采购数量和最大利润有显著影响，随着固定采购成本的增加，所得的最大利润逐渐减少，并且当固定采购成本足够大的时候，向供应商2采购的策略会从采购一定数量变为不采购；

3) 从整体策略来看，随着固定采购成本K的增加，最优采购的供应商会从供应商2转移到供应商1，同时，企业的最大利润也随着固定采购成本的增加而减少.

4.2 采购容量C的影响

其次，考虑采购容量C对最优策略的影响.此时，假定其他参数值固定，采购容量C最小值为5，最大值为15，各取值之间差值为1，获得11组数据.当K=5时，采购容量C对最优策略和最大利润的影响如图3所示，对最优采购量的影响如图4所示.

图3 采购容量C对最优策略和最大利润的影响(K=5)Fig.3 The influence of purchasing capacity C on optimal policy and maximum profit (K=5)

图4 采购容量C对最优采购量的影响(K=5)Fig.4 The influence of purchasing capacity C on optimal purchasing volume (K=5)

当K=18时，采购容量C对最优策略和最大利润的影响如图5所示，对最优采购量的影响如图6所示.

图5 采购容量C对最优策略和最大利润的影响(K=18)Fig.5 The influence of purchasing capacity C on optimal policy and maximum profit (K=18)

图6 采购容量C对最优采购量的影响(K=18)Fig.6 The influence of purchasing capacity C on optimal purchasing volume (K=18)

当K=25时，采购容量C对最优策略和最大利润的影响如图7所示，对最优采购量的影响如图8所示.

图7 采购容量C对最优策略和最大利润的影响(K=25)Fig.7 The influence of purchasing capacity C on optimal policy and maximum profit (K=25)

图8 采购容量C对最优采购量的影响(K=25)Fig.8 The influence of purchasing capacity C on optimal purchasing volume (K=25)

从图3～图8可以发现:

1) 当采购容量C较小时，选择供应商1和供应商2的最优决策随着采购容量的变动发生显著变化.随着采购容量的增加，两位供应商的采购数量在逐渐增加，最大利润的增加值则逐渐减少.但是，当采购容量足够大时，无论采购容量再怎样变化，选择单个供应商的最优决策均会保持不变，整体决策亦是如此.随着采购容量的增加，对供应商的采购数量先增加，然后保持不变；最大利润也是先增加，但增加幅度越来越小，然后保持不变.

2) 从整体决策上看，随着采购容量C的增加，有可能会改变对供应商的选择，也有可能不会改变对供应商的选择.总体而言，当固定采购成本K较小时，如K=5，最优策略为只向供应商2采购；当固定采购成本K增加时，如K=18，随着订货容量的增加，最优策略会从向供应商1采购转变为向供应商2采购；当固定采购成本K非常大时，如K=25，最优策略为只向供应商1采购.并且，一旦决策转变为向供应商2采购，随着采购容量的增加，最优决策会保持向供应商2采购不变.特别是当K=18时，若采购容量C=9，向供应商1和供应商2采购是无差异的，因而，此时既可以向供应商1采购，也可以向供应商2采购.

5 讨论与分析

在现实中，单周期库存管理系统是非常普遍的.很多具有季节性的产品，例如月饼、圣诞树等，它们的库存管理系统都属于单周期库存管理系统.而这些企业在进行商品采购和库存管理时，也经常会面对两类供应商.第一类供应商在之前已经合作过，彼此有着较深刻的了解，甚至有的供应商已经被纳入合格供应商体系.因此，向他们采购商品时，不需要再花费时间和精力进行实地考察和调研，也不需要进行合格供应商评估，可以直接采购.此时，我们可以近似地将向这类供应商采购的成本看成只有可变采购成本.但是，此时的可变采购成本较高.第二类供应商是新的供应商，能提供较低可变采购成本的产品.但是，这类供应商以前从来没有合作过，因此，需要花费时间和精力进行实地考察和调研，同时进行合格供应商评估.这些成本与采购量多少无关，可以视作固定采购成本.因此，向这类供应商采购商品时，需要同时支付固定采购成本和可变采购成本.与此同时，由于供应商的生产能力有限，能提供的商品数量也受到了限制.所以，当企业面对这两类供应商时，如何进行决策，确定向哪类供应商采购，采购量为多少，这正是本文的主要研究内容.

在本文研究的单周期库存管理系统中，向供应商1的采购只需要支付可变采购成本，而向供应商2采购时，需要同时支付固定采购成本和可变采购成本.同时，向两位供应商采购时，均会受到订货容量的限制.通过分析可知，该系统的最优策略与各参数值密切相关.整体上，随着固定采购成本的增加，最优决策会从向供应商2采购转移到向供应商1采购，同时，最大利润也随着固定采购成本的增加而降低.随着采购容量的增加，对供应商的采购数量先增加，后保持不变，最大利润也是先增加，后保持不变.并且，如果固定采购成本足够小，会只向供应商2采购；如果固定采购成本足够大，会只向供应商1采购；如果固定采购成本居中，随着采购容量的增加，最优决策会从向供应商1采购转变为向供应商2采购.

作为采购方，在面对两类不同成本结构的供应商时，最重要的就是进行准确的成本核算，成本包括向供应商1采购的可变采购成本、向供应商2采购的固定采购成本和可变采购成本.只有当所有的成本都核算准确了，才能在此基础上做出准确的决策.与此同时，当供应商提供的采购容量较小时，采购方可以多和供应商就采购容量大小进行谈判；但如果供应商提供的采购容量较大时，就采购容量谈判的意义就不大了.

在两类供应商中，供应商2相对占有主动性.因为只要供应商2能够提供足够的证据，证明所需花费的固定采购成本较小，采购方大多会倾向从供应商2处进行采购.所以对供应商2来说，如何帮助采购方显著地降低固定采购成本是非常重要的.在固定采购成本有效降低的前提下，如果采购容量较低，供应商2可以尝试提供较大的采购容量；但如果采购容量已经比较大了，供应商2则不需要提供更大的采购容量以吸引采购方，甚至可以考虑缩小采购容量的范围，因为这其实对采购方并没有太大影响.相对于供应商2的主动性，供应商1就显得比较被动了.采购方是否选择供应商1，基本上受制于供应商2的固定采购成本.但是，供应商1可以考虑从其他角度提高自己的竞争力，例如有效降低可变采购成本.一旦供应商1的可变采购成本接近供应商2的可变采购成本，甚至低于供应商2的可变采购成本，那供应商1就立于不败之地了.