谢雅礼 谢晓瑜

（1.永春华侨中学，泉州 永春 362600；2.永春美岭中学，泉州 永春 362618）

从2000 年开始，笔者提出“启导·探究·发现”主张至今，期间经历了“启导·探究·发现”课堂教学模式的构建与实践，数学探究式课堂教学的实践与研究，数学探究式教学的常见问题、成因与对策，提高数学课堂探究成效的策略研究，“启导·探究·发现”教学法的研究与实践等五个阶段，历时20 年，在省内外十多所学校实验，到跨县十所中学、跨市5 个县（市、区）、跨省1 所中学开设示范课和讲座50 多场次.

2019 年在全省介绍、交流与推广，成效卓著.相关成果共13 次荣获市级以上优秀成果奖，期中，2010 年获全国“十一五”教研优秀成果一等奖，2017 年获省教学成果二等奖，2018 年获省教学成果一等奖.

一、理论背景与建构原理

数学建构主义学习观认为：数学知识不能被动地吸收，不能简单地传授给学生，应以已有知识和经验为基础进行主动建构；心理学告诉我们，学习间接知识无法形成能力，只有亲身实验和对创造性活动的直接体验，才能实现；发现法教学论指出，学生具有“能动的、自我指导的力量”，可通过观察和思考重新发现数学概念和原理，学生的认识过程与人类的认识过程的原理相同，要求在教师的启导下主动地探究发现，而非消极被动地接受知识.“启导·探究·发现”教学法就是把所要学习的知识设计成探究性问题，启导学生进行探索研究的教学方法.“启导”即教师精心创设教学情境，以激发学生探究欲望和高效的思维，是激励和唤醒学生的教学艺术；“探究”是教师引导学生进行“观察、联想、类比、猜想、分析、归纳、概括”等高效学习的活动，是一种科学的学习方法；“发现”是学生通过探究得到了结论、规律、方法、思路和新问题等的高质生成.

脑科学研究表明，人的创造力来自右脑（感性的脑），其接受的信息通过联络纤维联系着左脑（理性的脑），经左脑加工转变为理性认识，储存下来，并产生创造想象.“启导”就是通过创设问题情境和思维情境，来刺激学生的大脑皮层，使之产生兴奋中心，当问题获解后大脑皮层逐渐处于抑制状态时，教师又引申出新的问题，使之产生新的兴奋中心，让大脑有节奏地处于兴奋状态，进行持续有效的思维活动，能诱发多种思考，激发创新意识和创造性思维.

二、教学步骤与实施策略

“启导·探究·发现”教学法一般分为以下6 个教学步骤，这些步骤不是固定的，可根据实际情况和课型进行增减、调整，但以问题研究和学生活动为中心的原则不能变.

（一）发现提出问题

策略：剖析教材，创设问题情境，编印学案，课前自主探究.

因现行教材的编写基本上是结论式、封闭性的叙述方式，其颠倒了数学发现的过程，不适于探究式教学.因此，应进行居高临下地剖析和重组，将枯燥、抽象的教学内容设计成生动有趣、能揭示知识本质的探究性问题，并把数学思想方法融入情境之中.将教学内容编写成以“发现·探究”为主线的探究性学案，使之成为促进学生认知结构发展的知识结构.学案包含课前完成、课堂探究、课外作业三部分.

（二）分析问题

策略：营造自由民主的环境，创设思维情境，师生合作激发.

这是教师启导学生运用旧知识创造性地解决新问题的关键环节，应充分发挥教师的主导作用.让学生回想有关的知识经验、思想方法，对数式和图表进行细致的观察，通过实验操作、类比归纳、联想构造、合作交流，提出猜想，修改完善、比较选择方案.教师话要少而精，既有启发性，又简单明了，给学生予安静思考的良好环境，激发学生高效的思维.

民主是创新意识产生的重要前提，学生要自然地感觉、产生创新的意识和创造性的行为策略，必须自由地思想.教学中，学生提出教师意料之外的想法，一要允许，二要鼓励，三要引导，不宜强行中止其思维活动过程，也不要硬性把其拉入自己预设的思维轨道，即不以教师的想法去束缚学生的思维活动，否则必将扼杀学生的创造性.但并非说教师要被动地跟着学生的思维走，而是要根据教学情况，在学生回答后因势利导地把教学活动组织在高水平上，对学生错误的想法要深度挖掘，并引导学生从失败走向成功［2］.

（三）解决问题

策略：分层教学，面向全体，独立解决.

对提出的假设或结论，找出推理依据，规范写出解答过程.这是学生在教师的启导下培养探究能力的重要阶段，要鼓励他们克服困难，选择自然、简单、创新的解法，尽力调动学生的自主性.要因材施教，要求优生一题多解、一题多变、提出新问题，对学困生予适当帮助，使全体学生都体验探究成功的喜悦，提高学习自信心.

（四）理性归纳

策略：精讲总结，引导反思.

引导学生对探究过程进行梳理，总结隐含其中的数学思想方法，使探究活动的成功经验清晰明朗，归纳出有关知识、技能方面的一般性结论，揭示其在整体中的关系，使之条理化，从而构建出新的知识系统和形成良好的认知结构.反思使所学知识和认识得到深化和提高，有利于建立更高层次的认知结构.教学中引导学生进行反思的途径有：所研究的问题和哪些知识有关?解题思路来自何方?各种方法有何联系与区别?是否正确、严密?用到了哪些数学思想方法?有无新的方法?能否进行变式、引申和推广?从而培养思维品质，提高思维能力.在问题解决后引导学生多角度、多层次、全方位地进行反思，能使掌握知识的层次更具深广度，思维更深刻［2］.

（五）巩固运用

策略：设置问题串，题目少而新.

问题串应有层次性（从简单到复杂），以适于各层次的学生.第一部分是基础性问题，可直接运用知识解答；第二部分是综合性问题，需灵活运用知识解决；第三部分是探究性问题，要求创造性地运用知识；问题串应有关联性，体现它们之间的有机联系，展示动态的问题演变过程，利于连续进行探讨，促进学生良好认知结构的形成和发展；问题串应有开放性，便于因材施教和进行一题多解及一题多变.

高效学习的本质是在头脑里形成良好的认知结构，其具有稳定性、清晰性和可利用（迁移）性三个特征.研究表明，灌输知识、记忆模仿、题海战术等无法导致甚至阻碍这三种特征的获得.因此，题目要少而新，有新颖性、针对性和代表性，以激起学生的学习兴趣和好奇心，让学生的探究有足够的时空.

（六）发现提出新问题

策略：创设开放性问题情境，把命题推广引申.

探究性学习既以问题的提出为起点，又以新问题的发现和提出为归宿.在完成以上步骤后，应启导学生把命题延伸拓展，发现新的问题，使之意犹未尽.途径有：逆命题是什么?成立吗?适当改变题设，结论有何变化?为了得到一个新的结论，必须满足什么条件?要鼓励学生自己提出新的问题.

三、教学案例——《三角形中位线定理的发现与运用（1）》

（一）创设问题情境，发现提出问题

你能画一条线段把△ABC 分成两部分后拼成一个平行四边形吗?这条线段有什么特点?你能给这条线段命名吗?它与△ABC 的边有什么关系?请你用语言表达这个结论并证明之（图1）.

图1

设计意图：对此问题，学生似乎熟悉但又不太清楚，虽不能立即解决，但经观察、试验、比较、猜想，几乎所有学生都能自主发现和证明（至少一种方法）结论，符合学生的认知基础和认识规律.

（二）创设思维情境，发现解题思路

⒈检查课前自主学习情况.师问生答有关问题，再用多媒体展示三角形中位线的定义与性质.

⒉组织学生交流研讨证明方法，教师根据具体情况适当启导.

师：本题与之前学过的什么知识有关?

生1：相似三角形的判定；

师：由“DE∥BC，DE=BC/2”除想到相似三角形外还可想到什么?

生2：平行四边形；

师：怎样画平行四边形?

生3：取BC 中点；生4：把DE 延长一倍；

经过启导、交流研讨，发现3 种证明思路（图2）.

图2

设计意图：通过创设思维情境，启导学生联想到与之有关的知识和方法，使新旧知识得到顺利同化，师与生、生与生合作激发，思维交锋，进行智力杂交，促进学生高效的思维和课堂高质的生成.

（三）分层教学，面向全体，独立解决问题

让学生独立写出证明过程.要求：C 组（基础较差）的同学至少一种证法，B 组（基础中等）的同学至少两种证法，A 组（基础较好）的同学三种证法.

（四）精讲总结，理性归纳

教师指出（屏幕显示）

⒈三角形中位线定理的特点：

题设：两个“中点”；结论：“平行”，“一半”.

⒉凡是与“中点、平行、线段倍分”的有关的问题可考虑使用此定理.

设计意图：揭示定理的特征，为灵活运用定理解决问题做准备.

（五）巩固应用：利用问题串进行变式训练（图3）

图3

⒈画出△ABC 的所有中位线，可发现哪些结论?

让学生抢答，注意先让C 组同学回答，再让B 组同学补充，最后让A 组同学完善，给各类学生提供表现自己才智的机会，及时给予表扬与鼓励.

结论有：分成的四个小三角形全等且与△ABC 相似；图形中有3 个平行四边形，且面积相等；图形中有3 个梯形且面积相等；四个小三角形的周长与△ABC的周长的比为1：2、面积的比为1：4；中位线与第三边的中线互相平分等.这些结论很重要，若学生没全部找出，可稍加提示.

⒉推广.

师：若把三角形改为四边形，即顺次连结四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，有类似的结论吗？（让学生抢答，原则同⒈）

结论有：①EFGH 为平行四边行；EG 与FH 互相平分；③四边形EFGH 的面积为ABCD 面积的一半等.

（1）引导学生证明：结论①与②，结论③让学生课后思考，下节课再交流.

师：由条件“4 边的中点”可想到什么?

生：三角形中位线！（用屏幕显示：中点→中位线）

师：图中共有几条中位线?各是哪个三角形的?

生：连结“对角线”.

……

（2）抢答：让3 个学生先后口述三种不同证法，同时教师用多媒体展示.

（3）教师指出：定理的两个结论应根据实际情况进行选择，可选一个或全选.

⒊变式训练：（1）若四边形ABCD 是平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形，则四边形EFGH 各是____、____、____、____、____ ；

（教师在计算机上用《几何画板》进行操作（图4），让四边形ABCD 的形状依次变为平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形，学生观察发现结论，并说明理由）

图4

（2）为使四边形EFGH 为平行四边形、矩形、菱形、正方形，则四边形ABCD 必须满足什么条件?

（3）若四边形EFGH 是正方形，则四边形ABCD 一定是正方形吗?为什么?四边形EFGH 的形状是由什么决定的?

让学生充分交流研讨后教师利用几何画板动态演示（图5），帮助学生观察发现：四边形EFGH 的形状是由对角线AC 与BD 的关系决定，而非四边形ABCD的形状决定.

图5

设计意图：此问题串，（1）具有关联性，从简单到复杂，用联系、运动、变化的观点去研究各问题之间的转化，展示给学生一个动态的知识“生长”过程，促进良好认知结构的形成与发展；（2）具有开放性，让学生有更广阔的思维空间，提供一个有利于群体交流的活动环境，使师生思维双向暴露，让学生再次体验研究数学的思想方法，达到举一反三、触类旁通的效果；（3）具有迷惑性，最后一问“上当受骗”的学生不少，及时引导反思错误原因，加深对问题本质的深刻认识，能有效提高思维品质，使数学核心素养在探究问题的过程中螺旋式发展.

（六）启导学生发现新问题

师：三角形中位线定理能否进行拓广?你能提出一些新的问题吗?

生1：逆命题成立吗?生2：若把中点改为三等分点，可得什么结论?生3：四边形有中位线吗……

设计意图：这是开放性问题，没有固定的要求，让学生灵活作答，充分发挥自主性，张扬自己的个性和特长.

四、作用与成效

（一）激活认知内驱力

认知内驱力是最重要的学习动机，是学生要求掌握知识、解决问题的需要.中学生具有强烈的好奇心，希望自己是一个探究者和发现者.把教学内容设计成探究性问题，对学生具有强大的吸引力，是“激起探究欲望，使之成为探究者、发现者”的重要途径.

（二）提高学习自信心

自信心是学习的源泉，但许多学生对数学学习并未产生愉快体验，缺乏自信.主要原因是教师采取讲授灌输的教学方式，过分注重结论及解题的技巧等，使学生未经历数学知识、问题、结论及解题思路被发现和创造的过程，对数学缺乏真正的理解，从而敬而远之，最终失去学习的信心.“启导·探究·发现”教学法关注探究发现的过程，引导学生“发现与创造”，使之深感数学并非由少数天才创造的，而是经过努力普通人都能发现、理解或掌握的.教学中要善于为学生创设发现的情境，使之在探究中不断获得成功，这种探究成功的体验不但使学生深信自己的智慧和力量，建立起稳定持久的自信心，而且可使学生从感性升华到理性并延伸到非智力因素（情感、价值观等）领域，使数学课堂成为学生成长的乐园［2］.

（三）促进高质生成

高质生成即学生提出的新问题，发现的新结论、新方法、新思路.课堂上学生各自发表自己的想法，不同观点的相容与共享，使得对信息的加工更深入，既可改变原有的知识结构，形成一个新的知识结构，又常常会出现一些思维亮点，教师及时捕捉并巧妙地启导，激发学生的创新思维，促进课堂高质的动态生成.合作交流具有优势互补的整合效应，利于培养学生的竞争意识和合作精神.

（四）提高师生素质

“启导·探究·发现”教学法一方面改变了以往的教学方式，提高了课堂教学效益.教师从“讲解”起“传授”作用转变为“创境”起“唤醒”作用，学生学习从“模仿熟练”转变为“探究发现”，有效解决长期以来学生难以独立发现和解决新问题即高分低质的难题，彻底转变以前上课“老师讲，学生听，老师写，学生抄”的被动局面.本教法既需参与教师有一定的教研素养，又能促使参与教师树立科学的教育观，认识数学教育的规律，提高教研能力.另一方面培养了学生的探究能力，提高了核心素养，实践表明，其在培育数学英才方面效果特别显著，实验班学生不但数学科成绩突出，还把学习方法、能力、品质迁移到其它学科，达到全面提高的效应，对数学的浓厚兴趣呈现可持续性［2］.

五、启示与反思

探究式教学具有层次性和差异性，是一个从低级到高级逐渐发展的过程.初级阶段：提供的问题难度较低，对解题思路给予较明显的提示；中级阶段：提供的问题具有综合性，解题思路给予简要启示；高级阶段：创设问题情境让学生自己发现问题或给出的问题具有较强的挑战性，对解题的思路给予“暗示”，不随意干涉学生独特的想法，师与生、生与生合作激发，相互讨论和诘难、启发和鼓舞，教师既为学生指引研究方向，又从学生身上吸取思想的活力和创新的想法，达到教学相长［2］.

探究数学教学与数学科学探究在发现数学的原理相同，但条件和背景不同.前者是在教师的启导下学生的再发现、再创造过程，教师的主导作用是精心创设教学情境，起“催化剂”的作用，最大限度提高学生探究的成效.教师应深入思考“发现”的机理：为什么要这样?为什么会这样?学生为什么不能发现?从而为学生创设有效的发现情境.