用字典排列法解答的一道改编题

2020-09-10甘志国

数理化解题研究·高中版 2020年12期

关键词：改编

摘要：文章把人教社教科书上的一道复习参考题给予改编，并用字典排列法给出了其解法.

关键词：改编;计数原理;字典排列法;自主招生试题

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2020）34-0057-02

收稿日期：2020-09-05

作者简介：甘志国（1971-），湖北省竹溪人，研究生，正高级教师，特级教师，湖北名师，从事高中数学教学研究.

基金项目：本文系北京市教育学会“十三五”教育科研滚动立项课题“数学文化与高考研究”（课题编号FT2017GD003，课题负责人：甘志国）阶段性研究成果之一.

改编题（由普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-3·A版》（人民教育出版社2009年第3版）第41页第2题改编）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，问：

（1）其中有多少个是奇数？

（2）其中有多少个大于201345？

（3）其中的320514是从小到大排列的第几个数？

（4）其中从小到大第300个数是几？

（5）其中从大到小第300个数是几？

解（1）这个六位数的个位数是1，3，或5，有A13种可能;首位数不能是0也不能是个位数，有A14种可能;把剩下的4个数字放在剩下的4个数位上，有A44种可能.由分步乘法计数原理，可得所求答案是

A13A14A44=288.

（2）用数字0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的数是六位数的个数是

5A55，注意到201345是这样的六位数中首位（即十万位）是2的最小者，又因为这样的六位数中首位是1的个数是A55，因而所求答案是5A55-A55-1=479.

（3）在用数字0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的数是六位数中，形如1×××××或2×××××的个数是2A55=240;形如30××××或31××××的个数是2A44=48;形如3201××或3204××的个数是2A22=4;再由形如3205××的最小者是320514，可得所求答案是240+48+4+1=293.

（4）在用数字0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的数是六位数中，形如1×××××或2×××××的个数是2A55=240，形如3×××××的个数是A55=120，进而可得其中从小到大第300个数是3×××××的形式.

其中形如30××××或31××××的个数是2A44=48（其中的最大数是第288个），形如32××××的个数是A44=24，进而可得其中从小到大第300个数是32××××的形式.

其中形如320×××或321×××的个数是2A33=12（其中的最大数321540是第288+12=300个）.

综上所述，可得所求答案是321540.

（5）在用数字0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的数是六位数中，形如5×××××或4×××××的个数是2A55=240，形如3×××××的个数是A55=120，进而可得其中从大到小第300个数是3×××××的形式.

其中形如35××××或34××××的个数是2A44=48（其中的最小数是第288个），形如32××××的个数是A44=24，进而可得其中从大到小第300个数是32××××的形式.

其中形如325×××或324×××的个数是2A33=12（其中的最小数324015是第288+12=300个）.

综上所述，可得所求答案是324015.

注这道改编题的解法就是字典排列法.

下面这道类题的解法也是字典排列法.

类题[1][2] （2013年华约自主招生数学试题第1题）已知集合A=xx≥10，x∈N，BA，且B中的每个元素同时满足：（a）各数位上的数字互不相同;（b）任意两个数位上的数字之和不为9.求：

（1）B中有多少个两位数？多少个三位数？