张艳芬

（吕梁学院汾阳师范分校，山西 汾阳 032200）

一、引言

多目标的二层规划具有主从关系，拥有严格的优化顺序。传统的多目标二层规划算法利用K-K-T条件将双层问题转化为单层，然后利用多目标单层规划算法来解决。也就是说利用传统的多目标二层规划算法，会造成转化之后规划问题的复杂度大大增加。为了简化多目标二层规划算法，就必须运用对偶定理。对偶定理指的是在平面几何中，将点和线称为对偶元素，过一点画一条直线并在一条直线上标出一个点[1]。在两个图形中，如果一个可以从另一个把其中的元素替换为对偶的元素，就说明这两个图形是对偶的。两个定理也是同样的道理，如果一个定理中的所有元素替换为对偶的就成为另一个定理时，就称这两个定理是对偶的。所以，其中一个定理真实，则另一个定理也必然真实。在对偶定理中，可以把射影几何也建立在这样的抽象元素和关系的公理系统上去。因此，本文提出基于对偶定理的多目标二层规划算法研究。

二、基于对偶定理的多目标二层规划算法研究

针对多目标二层规划算法，在本质上来讲就是数学上的一个分支，其主要目的是实现多目标的同时优化。

在本文提出的基于对偶定理的多目标二层规划算法研究中，首先，确定多目标二层规划算法参数，再根据抑制多目标二层规划距离非极大值，进而实现基于对偶定理的多目标二层规划。基于对偶定理的多目标二层规划算法的模式图，如图1所示。

图1 基于对偶定理的多目标二层规划算法模式图

（一）确定多目标二层规划算法参数

在基于对偶定理的多目标二层规划算法研究中，首先要确定多目标二层规划算法参数，这就意味着需要确定多目标二层规划的复合参数。确定多目标二层规划算法参数指的就是确定每一个层规划算法参数的数值及每一个决策变量的数值，将多目标二层规划算法参数的集合称为多目标二层规划算法的有效解[2]。当多目标二层规划算法参数处于冲突状态时，就不会存在所有多目标二层规划算法参数同时达到最大值或最小值的情况。因此，可以使用理想点法思想，由决策者对每一个规划算法参数都提出的满意值。再通过比较实际值与期望值之间的偏差来确定多目标二层规划算法参数的有效解。

本文通过极大极小法，根据多目标二层规划算法对某一参数给出一个可供选择的范围，则该目标就可以作为约束条件而被排除出目标组，进入约束条件组中。假如，除第一个算法参数外，其余算法参数都可以提出一个可供选择的范围，则该多目标规划问题就可以转化为单目标规划问题[3]。

在确定多目标二层规划算法参数之前，首先设计与目标参数相应的一组规划算法参数理想化的期望目标，其范围在。每一个规划算法参数对应的权重系数的范围为。因此，确定多目标二层规划算法参数，需要预先确定各个算法参数的期望值，同时给每一个算法参数赋予一个优先因子，假定有个目标，则 个多目标二层规划算法参数的有效解，如公式（1）所示。

（二）抑制多目标二层规划距离非极大值

为了提高基于对偶定理的多目标二层规划算法非极大值抑制的计算效率，解决传统的多目标二层规划算法对多目标二层规划算法非极大值抑制计算效率低的问题。本文利用插值的方法对多目标二层规划距离非极大值进行抑制[4]。抑制多目标二层规划距离非极大值，可理解为多目标二层规划距离的最大范围，即同时抑制多目标二层规划距离范围内的最大值。抑制多目标二层规划距离非极大值的具体方式就是采用梯度幅值方向的4个点，根据梯度幅度确定各点梯度的方向，并找出四个方向可能存在边缘点的坐标。通过公式（1）确定多目标二层规划算法参数，从而计算出多目标二层规划距离4个方向的梯度幅度，得到多目标二层规划距离的非极大值[5]。

（三）实现基于对偶定理的多目标二层规划

通过确定多目标二层规划算法参数，再根据抑制多目标二层规划距离非极大值，进而实现基于对偶定理的多目标二层规划[6-7]。基于对偶定理的多目标二层规划算法，首先给定出无定义的点、线和关联，以及像下面这样的对偶公理：“每两个不同的点关联着唯一的一条直线”和“每两条不同的直线关联着唯一的一点”。这样一来，任何一个定理，如果在它的叙述和证明中，只包含与对偶公理有关的元素，那么其中一定准许对偶化这样就得到了关于对偶定理的证明。正是由于公理的对偶性，才保证了对偶原理的正确性，进一步证明了基于对偶定理的多目标二层规划算法的合理性[8]。

三、实验

（一）实验准备

本文通过仿真实验证明基于对偶定理的多目标二层规划算法的可行性，针对多目标二层规划算法的计算效率进行实验。将多目标二层规划的约束集设为 ，通过公式（ 1）计算确定多目标二层规划算法参数的有效解集合。在Matlab环境下进行实验分析，运行系统为Windows8。实验参数设置如表1所示。

表1 软硬件环境配置

在上述实验环境中，设置多目标二层规划算法具体参数，其具体内容如表2所示。

表2 多目标二层规划算法具体参数表

设定实验总次数为8次，分别使用两种算法对多目标二层规划算法的计算效率各检测4次。在表2的多目标二层规划算法具体参数的基础上，进行实验，其实验具体过程如下所示。

step1：根据多目标二层规划建立m×n用户规划评分矩阵。

step2：计算评分矩阵邻域间目标层的相似性，且依据用户对多目标的满意程度和契合程度规划相近的邻域集。

step3：建立推荐列表，实现多目标二层规划算法的具体目标。

首先采用传统的多目标二层规划算法对多目标二层规划算法的计算效率进行检测，再采用文章设计的基于对偶定理的多目标二层规划算法实施同样操作步骤，设置传统的多目标二层规划算法为对照组，进行对比实验。

（二）实验结果分析与结论

根据两种算法下的多目标二层规划算法的计算效率进行对比，将实验结果绘制为曲线图，其对比结果如下图2所示。

图2 多目标二层规划算法的计算效率对比图

通过图2可知，基于对偶定理的多目标二层规划算法的计算效率明显高于实验对照组。在进行多次实验验证后，本文基于对偶定理的多目标二层规划算法的计算效率最终接近80%，而对照组的计算效率仅仅接近30%。由此证明，基于对偶定理的多目标二层规划算法可以提高多目标二层规划算法的计算效率，实现对多目标二层的直接规划。

为了进一步验证本文基于对偶定理的多目标二层规划算法的可行性，对比实验组和对照组进行实验所需时间检验，其用时对比结果如图3所示。

图3 实验所需时间对比结果

由图3可知，进行多次实验验证后，实验组所需时间一直少于对照组实验所需时间，由此可知，本文基于对偶定理的多目标二层规划算法在进行实验验证用时较短，效率更高。其原因是本文方法确定多目标二层规划算法参数，确定每一个层规划算法参数的数值及每一个决策变量的数值，将多目标二层规划算法参数的集合定位为多目标二层规划算法的有效解。

四、结语

目前，多目标二层规划水平仍处于早期发展阶段，因此针对基于对偶定理的多目标二层规划算法研究是非常具有前景的。提出并设计一种基于对偶定理的多目标二层规划算法，根据对偶定理的多目标二层规划算法模式图，确定多目标二层规划算法参数，在此基础上抑制多目标二层规划距离非极大值，实现基于对偶定理的多目标二层规划。所提出方法在提高多目标二层规划算法的计算效率方面取得了长足发展。基于对偶定理的多目标二层规划算法可以帮助多目标二层规划进行科学的调整，在简化传统算法的同时，提高多目标二层规划算法的计算效率。