刘 剑，陈茂胜，孔令波，孙金傲，曲云昭，刘效宁，侯 颖 ，赵 波

（1. 长光卫星技术有限公司，长春 130033；2. 吉林省德惠市第十三中学，吉林 德惠 130300）

0 引言

磁力矩器是低轨道微小卫星的主要执行部件之一，由磁棒和控制电路2 部分组成[1]，用以对卫星进行姿态控制和动量管理，更广泛地应用于反作用力飞轮的动量制裁[2]。相对于姿态控制系统及其他执行机构，磁力矩器具有简单可靠等优点。由于微小卫星在质量和功耗等方面存在限制，因此要求，输出力矩大、剩磁小，体积小、重量轻[3-5]。设计磁力矩器时，在保证得到期望磁矩的同时，必须降低磁力矩器的质量和功耗[6-9]。

一些专家学者对磁力矩器的多目标优化算法进行了研究：文献[5]对磁力矩器的多目标优化算法进行了讨论，建立了磁力矩器多目标优化算法模型，但模型中引入了绕线后的磁力矩器半径这一参数，使模型复杂化，且其优化设计算法的求取过程繁琐；文献[9]针对空芯磁力矩器，给出了优化设计算法，但它只将质量和功耗作为设计的限制，而未作为设计目标来考虑，并未对带磁芯的磁力矩器进行讨论；文献[3]虽然考虑了带磁芯的磁力矩器设计问题，但该文并未同时考虑磁矩与功耗存在的矛盾。

本文改进了文献[1]的磁力矩器设计算法，文中在时间常数、绕线电感、绕线层数、绕线电流等因素的制约下，给出1 种优化的函数形式，求解该优化函数下的最优设计方案，使得在满足输出额定磁矩的条件下，能够更好地平衡质量和功耗，并对设计方案进行具体实现和验证。

1 模型建立

图1 给出了载流线圈在磁场中的受力模型，所受力矩满足：

式中：M为载流线圈的磁矩；S为线圈面积矢量；I为通过线圈的电流；B为磁感性强度。

图1 载流线圈在磁场中的受力模型

空芯线圈产生的磁场小，无法满足卫星姿态控制系统的指标要求：因此必须通过磁性材料的磁化作用来提高通电线圈产生的磁场。载流线圈中插入磁芯，其内部磁感应强度显著增强，产生的磁矩也明显增大[10-11]，磁感应强度和磁矩的模表示为：

式中：μo为真空磁导率；N为磁力矩器绕线匝数；为磁芯长度；rc为磁芯半径；V为磁芯体积；为磁芯相对磁导率。Nd的计算方法为

式中Nd为磁芯的退磁因子。Lcrc越大，Nd越小，相同条件下产生的磁矩越大。

磁力矩器输出磁矩与磁芯体积V、磁芯内部磁感应强度B相关。式（4）为磁矩理论计算公式，实际应用时，常引入衰减因子 aη，取值0.7～0.9；若磁芯的饱和磁感应强度为Bs，为保证线性度，对饱和磁感性强度进行降额，设降额系数为ξ，ξ通常取0.8，式（4）变换为

要达到额定输出磁矩，磁芯体积V应满足：

设磁芯长径比λ为

由式（8）～式（10）可知，磁芯最小长径比满足

通过式（11）可确定磁芯的尺寸，进而求得磁芯的实际体积V0，由式（7）可知

将式（12）代入（13）化简可得

式（14）中除了参数N和I外其他参数均已知，设线圈长度近似等于磁芯长度，且每匝线圈之间紧密缠绕，则每层的绕线匝数N0为

式中d为线绕直径。

设绕线层数为n，第n+1 层绕线匝数为Nr，则总绕线匝数N为

工程实施中，常取Nr=0 ，即

绕线中通过的电流I为

式中：R为绕线总电阻；R0为绕线单位长度电阻；为绕线长度。存在的关系为

将式（17）～式（19）代入式（13）可得

最终化简可得

由式（21）可知，当磁芯和绕线确定后，满足设计要求的方案中，绕线层数存在最大值。以设计 1 款额定输出磁矩 5 Am2的磁力矩器为例，工作电压12 V，磁芯的饱和磁感应强度为0.7 T，磁芯直径8～16 mm，磁芯直径变化步长1 mm，长径比不高于50，长径比变化步长为1，绕线直径0.25 mm，衰减因子0.8，通过式（21）计算出的可行方案共11 722 种，可根据具体设计需要进行选取。

2 多目标优化

在确保额定输出磁矩的前提下，微小卫星的磁力矩器应满足“三小、一低、一快”，即小尺寸、小重量、小功耗、低剩磁矩和快速响应（小时间常数）。本文仅针对质量和功耗进行优化设计。

由式（3）和式（12），可计算通过绕线的平均电流为

磁力矩器最大功耗P为

绕线质量mw为

磁芯质量mc为

总质量m为

绕线电感L为

建磁时间t为

要选择最优的设计方案，即在满足额定输出磁矩的同时，使功耗P和总质量m尽可能小。图2 和图3 给出了在设计实例中，磁力矩器的质量和功耗的关系。图 2 中每条曲线表示了在磁芯直径为10 mm、不同长径比下质量和功耗的关系，图3中每条曲线表示了在长径比为 50，不同磁芯直径下，质量和功耗的关系。从图 2、图 3 可以看出：磁力矩器的质量和功耗相互矛盾，即过分优化1 个变量，会使另1 个变量急剧恶化，设计过程中要对2 个变量进行权衡。

图2 磁芯直径为10 mm 时，不同长径比下质量和功耗的关系

图3 磁芯长径比为50 时，不同磁芯直径下质量和功耗的关系

本文中涉及的最优方案仅针对质量和功耗，实际设计中还包含其他设计参数，根据具体设计要求，对其他参数进行约束，即

在此约束下，上述实例中可行的设计方案共有241 种，选取目标函数

当F(P,m) 取最小值时，即质量功耗平方和最小时的方案为最优方案。在式（30）的目标函数下，求得的最优方案的设计参数如表1 所示。

表1 优化函数下的磁力矩器设计参数

3 磁力矩器设计及验证

由以上分析可知，最优可行方案中，磁芯的饱和磁感应强度为0.7 T，直径10 mm，长度220 mm，绕线直径为 0.25 mm，每层760 匝，绕线6 层。图4 为设计好的磁力矩器，图5 为磁力矩器测试实验。

图4 设计好的磁力矩器

图5 磁力矩器标定

测试的具体原理如图6 所示。

在距离磁力矩器质心R处的磁感应强为B，和Bt度分别为B沿R径向和切向的分量，它们与磁矩M的关系满足

图6 磁力矩器测试原理图

图7 时测试原理

图8 时测试原理

由上述分析可知，磁矩的测量可以转化成对确定位置磁感应强度的测量，磁感应强度可通过磁强计进行测量[12]，本文在的条件下进行磁力矩的测试，测试点的环境磁感性强度为测试数据如表2 所示。

图 9 是根据实验结果直接拟合的磁力矩器的电流和磁感应强度关系曲线；图10 是通过关系式将磁感应强度转化为磁矩后，拟合的磁矩和电流的关系曲线，其表达式为

表2 磁力矩器标定数据

图9 磁力矩器电流和磁感应强度拟合曲线

图10 磁力矩器电流和磁矩拟合曲线

当输出磁矩为5 Am2时，绕线电流为97.7 mA，经过计算，线性度误差小于0.3 %。

由式（16）、式（12）和式（4），可计算出输出磁矩和绕线电流的理论关系式为

由式（34）和式（35）可以看出，2 个关系式存在一定误差，这个误差主要由衰减因子的选取引起的。本例中衰减因子选取得较小，这样可以保证设计方案有较大的余量。如果不考虑衰减因子，则输出磁矩和绕线电流的理论关系式为

则实际衰减因子ξ为

上例设计过程衰减因子选取 0.8。衰减因子的取值范围一般为0.7～0.9。衰减因子选取不当，会使标定曲线与理论曲线有一定偏离，为使设计方案有更大的余量，衰减因子可以适当选取得小一些。

使用本文所述方法计算设计的磁力矩器已在“吉林一号”星座系列卫星上得到充分应用，证明了设计方案的正确性和可行性。

4 结束语

通过本文的分析，可以得到

1）设计1 款磁力矩器，当磁芯和绕线确定时，可行方案中绕线层数存在最大值；

2）磁力矩器的质量和功耗是相互矛盾的变量，过分优化1 个变量，会使另1 个变量急剧恶化，设计过程中要对2 个变量进行权衡；

3）利用本文改进的算法，既可以对某些变量进行设计约束，也可以针对具体设计要求给出新的优化函数，或将新的变量加入到优化函数。