蒋赟， 陈机林， 侯远龙， 金鹏程， 尚国庆

(南京理工大学 机械工程学院，江苏 南京 210094)

0 引 言

作为伺服系统执行元件[1]，步进电机结构简单，定位准，成本低，易控制，应用广。然而，开环控制下的步进电机存在低速易振荡和高速易失步等问题，导致步进电机在高性能要求的工作场合中的应用受到严重限制[2]。

本文以两相混合式步进电机为研究对象，引入位置闭环控制，研究位置闭环系统的控制策略,提高位置控制精度。由于混合式步进电机的状态内部高度非线性且相互耦合[3]，传统控制无法有效处理不确定信息，智能控制理论无疑是更佳选择。结合滑模控制与模糊控制，实现两者优势互补，能够有效抑制系统抖振并且保证系统稳定性[4]。

文献[5]设计将模糊控制融入传统滑模控制，再将其应用在削弱永磁同步直线电机的抖振现象，提升稳定性的同时可以加速响应。文献[6]把自适应模糊滑模控制理论运用于机器人的移动轨迹跟踪控制算法，从而大幅提高移动跟踪控制精度。因此，本文采用自适应模糊滑模变结构控制(AFSMC)的智能控制策略，并应用在步进电机伺服系统的位置控制中。仿真分析证明，该控制器能有效克服外界干扰，保证系统的静、动态特性，削弱固有抖振，同时具有很强的鲁棒性。

1 两相混合式步进电机的数学模型

作必要假设简化两相混合式步进电机数学模型：不计定子极间和端部的漏磁；不计永磁体回路的漏磁；忽略磁滞和涡流的影响；忽略铁芯饱和及铁损的影响；假设齿层磁导只含有平均分量和基波分量，且按线性考虑[7]。

从结构上看来，步进电机与永磁同步电机的设计异曲同工，因此步进电机建模可以参考直流同步电机的建模方法[8]。两相混合式步进电机在旋转坐标系d-q下的模型如图1所示。

电压方程：

(1)

磁链方程：

(2)

综合式和式可得：

(3)

式中:ud、uq为d、q轴电压；id、iq为d、q轴电流；ψd、ψq为磁链分量矢量值;R为定子绕阻电阻；Ld、Lq为转子电枢d、q轴电感；ωe为电机转子电角速度；ψf为转子永磁体在定子上产生的磁链。

机械运动方程：

(4)

电磁转矩方程：

Te=Zr(ψdiq-ψqid)=Zr[ψfiq+(Ld-Lq)idiq]

(5)

式中：Zr为电机的转子齿数;Te为电磁转矩；J为等效转动惯量；B为黏滞摩擦因数；TL为电机负载转矩；ωm为转子机械角速度，且ωe=Zrωm。

综合电压方程、电磁转矩方程以及机械运动方程可得步进电机的状态表达式为：

(6)

通常令交轴电流id=0，则电磁转矩Te=Zrψfiq=Ktiq。根据数学模型设计步进电机位置伺服系统的结构简图，如图2所示。

(7)

2 自适应模糊滑模控制器设计

2.1 模糊控制基础

以乘积推理机、单值模糊器和中心平均解模糊器设计模糊系统，则解模糊后的系统输出：

(8)

引入模糊基函数向量ξT(X)=[ξ1,ξ2,…,ξm]T，即

(9)

上式可表示为：

y(x)=θTξ(X)

(10)

式中：θT=[y1,y2,…,ym]T。

2.2 滑模控制器设计

滑模控制器设计包含两方面：设计合适的滑模面，使系统的状态轨迹进入滑动模态后具有渐近稳定等良好的动态特性;设计合适的滑模控制律使系统的状态轨迹收敛于滑模面[10]。

2.2.1 控制律初始设计

根据伺服系统的控制要求，设计合适的控制器,使得实际位置θ近似跟踪指令位置θd，定义跟踪误差e=θd-θ。则有：

(11)

为消除误差和削弱抖振，设计积分滑模面：

(12)

式中：c1>0;c2>0。

对上式求导：

(13)

将式(11)代入，整理得：

(14)

设计控制律u为：

(15)

式中：usw=ηsgn(s)，η≥M。

将式(15)代入式(14)，得：

(16)

(17)

2.2.2 模糊系统逼近未知函数

(18)

(19)

(20)

可设计自适应律为：

(21)

最终，AFSMC控制系统结构如图3所示。

3 稳定性分析

定义系统的最优参数：

(22)

定义系统逼近误差：

(23)

则有：

设计Lyapunov函数：

(24)

(25)

代入设计的自适应律：

(26)

根据模糊逼近理论，自适应模糊控制可以实现逼近误差ε无限小，故而：

(27)

4 试验仿真与分析

通过5种隶属函数使系统模糊化，则逼近f(x)和g的模糊规则各有25条：

(28)

定义切换函数s(t)的隶属函数:

(29)

通过步进电机位置伺服系统的动态仿真，比较单一滑模和结合智能控制的复合滑模这两种控制方式，从而显出更具优越性的一方。仿真所用到的系统参数为：电机的转子齿数Zr=200，电感Ld=Lq=18.75 mH，电阻R=12 Ω，质量M=24 kg，摩擦因数B=0.2 N·s/m，磁链值ψ=0.286 Wb，目标输入为阶跃信号vref=100 mil。控制律参数c1=10,c2=25,η=0.1，自适应律参数r1=10,r2=1,r3=0.5。

图4和图5是控制器输出的阶跃响应曲线。图4为系统的跟踪响应曲线，图5为系统跟踪响应的误差曲线。仿真角度目标100 mil,仿真时间10 s,外部扰动模拟为在[-5,5]mil波动的随机信号。将图中两条曲线比较可知，自适应模糊滑模控制器到达稳态大约用时1.2 s；传统滑模控制到达稳态大约用时 2.3 s，而且出现微弱的超调现象。在模拟扰动信号的作用下，自适应模糊滑模控制的曲线几乎无抖动，传统滑模控制的曲线抖动更加明显。分析可知，自适应模糊滑模控制能够加快系统到达稳态的速度，在有扰动的情况下能够保持较小的稳态误差，因而相比传统滑模变结构控制具备更棒的控制特性。

为进一步验证自适应模糊滑模控制的可靠性，对系统进行正弦跟踪仿真试验。假定输入信号：y(t)=50 sin(t)+50，幅值为50 mil，周期为2πs，仿真时间为10 s。图6、图7分别为不同策略控制的正弦跟踪曲线和正弦误差曲线。从误差曲线中可以看出，传统单一滑模控制下的正弦跟踪误差大约在[-0.7,0.7]mil之间，自适应模糊滑模控制(AFSMC)下的误差大约在[-0.2,0.2]mil之间。由此可见，自适应模糊滑模控制(AFSMC)能更好地跟踪目标曲线，削弱系统抖振，适当改进步进电机工作的不稳定性，满足系统的性能要求。

5 结束语

本文提出一种自适应模糊滑模控制方法(AFSMC)，构建步进电机位置伺服系统模型，设计位置环节控制，利用MATLAB/Simulink仿真进行试验。仿真中将该控制策略(AFSMC)与传统滑模控制(SMC)比较，在保持滑模变结构控制特有优势的基础上，有效抑制抖振，具备优良的位置跟踪动态性能，对于外部扰动变化体现强鲁棒性，满足定位精度要求，具备实际应用价值。