陈泽斌

(汕头大学数学系,广东 汕头 515063)

1 引言

Kakeya在1917年提出了寻找单位直线段可以在其内部调转方向并且具有最小面积的平面集的问题,也就是连续地移动此单位直线段而不离开此集使它旋转180◦并回到原来位置,这个问题基本上可归结为寻找包含每个方向单位直线段的最小区域的问题.1928年,Besicovitch发现了一个平面上的单位直线段可以在其内部转到相反方向,但其面积却可以任意小的令人惊奇的集的构造.即有如下定理.

定理1.1有一个面积为零的平面集,它在所有方向上都包含一单位直线段.

上述定理的证明参考文献[1].Rn中在每个方向包含有一个直线段的集合称为Besicovitch集,定理1.1证明了R2中存在Besicovitch集;取这种集与Rn−2的乘积集,就得到了Rn上的Besicovitch集.随着这个问题的解决,一个很自然的问题摆在眼前,就是如下著名的Kakeya猜想.

猜想Rn空间中的任意Besicovitch集的Hausdorff维数等于n.

关于Kakeya猜想,国际上已经有很多数学家(如Wolff,Bourgain,Tao等)做了大量的工作,其中n=2的情形已完全解决,并存在好几种证明方法(见文献[1–3]).而对于高维(n≥3)的情形,虽然目前还没得到彻底解决,但是有许多著名的数学家做出了本质的推进.1985年,Christ-Duoandikoetxea-Rubio de Francia[4]首先证明了下界为.1991年,著名数学家Bourgain[3]利用一个称为“bush”的构造将其改进为这里εn是一个固定的数,只与n有关.而这项工作最突出的结果来自于Wolff[5],1995年Wolff利用另一个称为“hairbrush”的更有效的构造再次将这个下界提高至,其中对于3≤n≤8.这仍然是目前最好的结果.而对于n≥9,之后Katz–Tao[6]于2000年将其提高至.

由上述可知在高维……