郭景阁,王君甫,赵仁育

(1.西北师范大学数学与统计学院,甘肃 兰州 730070)

(2.常州工学院理学院,江苏 常州 213032)

0 引言

1995年,Enochs和Jenda在文献[1]中引入了Gorenstein内射模和Gorenstein投射模的概念.自此,Gorenstein同调代数逐渐被人们所关注,至今已发展成一个比较完整的理论体系.2010年,Bennis和Nahdou在文献[2]中证明了sup{GpdRM|M是左R-模}=sup{GidRM|M是左R-模},并把这个值定义为环R的左整体Gorenstein维数.2004年,Holm在文献[3]中证明了对左R-模M,N,如果GpdRM<∞,GidRN<∞,那么对任意的i≥0,并由此定义了Gorenstein导出函子在文献[4,5]中Asadollahi和Salarian研究了三角范畴中的Gorenstein同调理论.2014年,Ren和Liu在文献[6]中研究了三角范畴的整体Gorenstein维数和三角范畴中的Gorenstein导出函子.2015年,Wang在文献[7]中研究了正合范畴中的Gorenstein投射性和Tate上同调.

受以上工作启发,本文研究正合范畴的整体Gorenstein维数和正合范畴中的Gorenstein导出函子.全文分为三个部分:第一部分介绍一些相关的概念及事实;第二部分证明了在有足够多投射对象,足够多内射对象,有可数直和及可数直积的正合范畴A中,sup{GpdM|M∈A}=sup{GidM|M∈A},由此将这个值定义为A的整体Gorenstein维数;第三部分,证明在有足够多投射对象和足够多内射对象的正合范畴A中,对任意的M,N∈A,如果GpdM<∞,GidN<∞,那么由此把这个同构意义下唯一的Abel群定义为A中对象M,N确定的Gorenstein上同调群.

1 预备知识

设A是一个加法范畴,A中的核-余核对(i,p)是可合成的态射使得i是p的核,p是i的余核.令是A中一些核-余核对构成的类.称A中的态射i是可许单的,如果存在态射p,使得(i,p);称A中的态射p是可许满的,如果存在态射i,使得(i,p).用表示可许单态射,表示可许满态射.

定义1.1[8]设A是加法范畴,是A中一些核-余核对构成的类,且关于同构封闭.称是A上的正合结构,如果

称加法范畴A和其上的正合结构构成的二元组()为正合范畴,中的元素称为可许对或短正合序列.以下将正合范畴()简记为A.

称A中的态射f:A→B是可许的,如果存在可许单态射m和可许满态射e,使得下图可交换

称可许态射的序列

设……