熊涛

(西华师范大学数学与信息学院,四川南充 637002)

1 引言

本文规定,R恒指有单位元的交换环.对R-模N,fdRN(resp.pdRN)代表N的平坦(resp.投射)维数.用Fn表示平坦维数不超过n的R-模簇,用w.gl.dim(R)表示R的弱整体维数.对于未解释的概念和符号,参考文献[1,2].

文献[3]引入的FFD(R)维数受到了广泛关注.例如,文献[4,推论5.3]表明,一个Noether环R,总有FFD(R)≤dim(R)≤FFD(R)+1成立,这里dim(R)是R的Krull维数;特别地,如果R是局部环,则FFD(R)=dim(R)当且仅当R是Cohen-Macaulay环.

称R是chain环是指其理想按包含关系所构成的格是全序的,R称为arithmetical是指对R的每个极大理想m,Rm是chain环.R称为半凝聚环是指对任何一对内射模E,F,HomR(E,F)是某个平坦模的子模.文献[5,定理1]证明了对每个交换的arithmetical环R,总有FFD(R)≤2成立.更确切地说,当R为局部IF(locally IF)环时,FFD(R)=0成立;当R是局部半凝聚(locally semicoherent)环但不是局部IF环时,都有FFD(R)=1,这里环R称为IF环是指每个内射R-模是平坦模,(见文献[6]).文献[5,定理2]证明了当R既是IF环又是chain环时,则FFD(R)=0;当R是非半凝聚的chain环时,都有FFD(R)=2.

在经典同调理论中,环R的整体维数是所有模的投射维数(或者内射维数)的上确界;弱整体维数w.gl.dim(R)是模的平坦维数的上确界.在相对同调理论中,环R的Gorenstein整体维数也是所有模的Gorenstein投射维数的上确界,或者Gorenstein内射维数的上确界;Gorenstein弱整体维数是所有模的Gorenstein平坦维数的上确界.

然而,环的有穷平坦维数FFD(R)不是像经典同调理论和相对同调理论那样,建立在整个R-模范畴上,而是建立在平坦维数有限的子范畴上.对任给一个模M,在判定其平坦维数是否有限时,存在技术上的困难.本文借助文献[7]中提出的n-无挠模,建立了整个R-模范畴上的n-无挠……