殷露露,张 婧

(伊犁师范大学数学与统计学院,新疆 伊宁 835000)

1 引言

设0<α1)是零次齐次函数.分数次积分TΩ,µ及其极大算子MΩ,µ的定义为

当µ=0时,TΩ,µ与二阶变系数椭圆偏微分方程有着非常密切的联系.1995年,Caldon与Zygmund证明了该算子在变指标Lebesgue空间Lp(·)(Rn)上有界.随后,又有很多学者对其进行了进一步的研究[1−3].

令γ=(γ1,γ2,···,γn),并且γi(i=1,2,···,n)是非负整数,记且

令A(x)是定义在Rn上的函数,Rm(A;x,y)表示定义在Rn上且m−1阶可导的函数A(x)在点x关于y的m阶Taylor展开式的余项,即

在2001年,丁勇[4]引入了如下一类带粗糙核的多线性分数次积分算子

与之相应的分数次极大算子的定义为

显然,当m=0时,即为交换子[A,TΩ,µ].当m≥1时,即为上述交换子的非退化推广.丁勇[4]证明了当DγA∈Lr(Rn)(1≤r<∞,|γ|=m−1)时,该算子在加权Lebesgue空间上有界;Wu和Yang[5]证明了当DγA∈BMO(Rn)(|γ|=m−1)时,该算子在Lebesgue空间上有界.

另一方面,在1995年,Paluszynski[6]给出了由Riesz位势算子以及Lipschitz函数生成的广义交换子,即多线性分数次积分算子,并给出了Besov空间的一些刻画.在Paluszynski[6]的启发下,Lu和Zhang[7]证明了当时,在Lebesgue空间上有界.当β>0,齐次Lipschitz空间的定义为

若1≤q<∞,等价范数为

上述都是在一些经典函数空间上的结果,随着科学的发展,很多非线性的问题随之而来.这时经典函数空间出现了一定的局限性,例如它对非标准增长条件下的非线性问题已经失去了效用.在这类非线性问题的研究过程中,学者越来越多的关注由经典函数空间到变指标函数空间.

令p(·):Rn−→[1,∞)上的可测函数.记变指标Lebesgue空间Lp(·)(Rn)为存在某个λ>0使得

成立的Rn上的可测函数f全体.变指标Lebesgue空间Lp(·)(Rn)是一个Banach空间,其范数定义为记

用这个符号定义一族变指标

p0(·)是p(·)的共轭指标且

变指标空间与经典函数空间有很大的不同,主……