庞 峰

(山西警察学院，山西 太原 030401)

0 引言

数学是一门不断发展的学科，而关于线性方程组和环的内容是高等数学的重要组成部分[1].在以往的教学中，线性方程组的系数及其解都只是在实数域上讨论的.赵廷芳等人通过线性方程组唯一性原则，求解出实数域R上的最小解[2].李大林等人利用部分等式补充固定线性方程组的方式，求解实数域上亏损矩阵的广义特征矩阵，得到最优解[3].实数域是一类特殊的环，可以把它推广到以Zm表示模m的剩余类环上来进行研究[4]，并把得到的结论与高等代数中的一些性质定理做比较，发现它们的差异之处.郑千里通过消法变换实现了整系数线性方程组的求解方法及判定条件[5].本文利用齐次线性方程组求解的方法应用到环求解中，拓宽环求解方法的实用性.其中Zm表示模m的剩余类环.Zmn×n表示的是模m的剩余类环上的n×n阶矩阵.其他的表示都是标准的数学表示.

1 线性方程组的定义及定理

定义1一般线性方程组

(1)

x1，x2，…，xn代表n个未知量，s是方程的个数，aij(i=1，2，…，s，j=1，2，…，n)称为方程组的系数，bj(j=1，2，…，n)称为常数项.以后也可以用AX=B来表示，其中：

定义2所谓方程组(1)的一个解就是指由n个数k1，k2，…，kn组成的有序数组(k1，k2，…，kn)，当x1，x2，…，xn分别用k1，k2，…，kn代入后，方程组中的每个等式都变成恒等式.

定义3在一般线性方程组中，当b1，b2，…，bs全为0时，

(2)

此时方程组(2)叫做齐次线性方程组，否则称为非齐次线性方程组.

定义4向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.

引理1矩阵的秩用r表示，如果齐次线性方程组(2)的系数矩阵