四川师范大学数学科学学院(610068) 杨梦圆 邵 利

数学解题教学是数学教学的重要成分,教学生学习如何解数学题也就成为数学教学的重要任务[1].其主要目的必定是为了教会学生思考,而不是为了得出题目答案.而教解题思路就需要教师将自身独自解题所经历的思维变化通过言语传达出来,这时通常采取以问题的形式来一步步引导学生思考.涂荣豹提出数学解题的基本步骤:(1)理解题意;(2)联系已解决的问题,提出解题的各种设想;(3)实现解题方案,完成解题过程;(4)验证结论,回顾解法[2].对于不同的题目可以不包含所有步骤,但可以根据这个解题步骤设计出启发学生思考的教学问题.

1 试题研究

1.1 试题呈现

(2018年高考数学四川卷理科第19 题) 如图1,边长为2 的正方形ABCD所在的平面与半圆弧DC所在平面垂直,M是弧DC上异于C,D的点.

图1

(Ⅰ)证明:平面AMD⊥平面BMC;

(Ⅱ)当三棱锥M－ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.

1.2 试题分析

立体几何的题目在考察学生数学抽象、逻辑推理和数学运算等核心素养的生成情况方面居于重要地位[3].这类题目主要考察学生利用综合法证明点、线、面间位置关系的能力或利用空间直角坐标系的向量运算解决问题的能力.而这类题目常有多种解法,学生应该总结并分清每种解法的异同,区分清各个解题方法的本质,在解题过程中深化数学思想.

1.2.1 第(Ⅰ)问的分析

第(Ⅰ)问是证明面面垂直的逻辑推理题,那就需要学生找寻能得出面面垂直的条件.如果学生选择综合法证明,就可以反映出学生是否清晰线面垂直、面面垂直的判定定理,利用定理寻找符合定理条件的已知与推论,在整理条件是注意逻辑推理的流畅性和严密性.此题的解答总体上是比较好的,但学生在解答过程中还是存在以下一些问题:

①易忽略直径所对圆周角是直角的隐含条件,即DM⊥MC;或者忽略面ABCD是正方形且与半圆面垂直且交于CB,导致无法得出DC⊥CM的线面垂直关系;从而因为条件不齐无法得出结论.

②多数学生都可以找出上述两个条件,但是却有少数学生的逻辑描述不准确,失去数学逻辑的严密性,导致得分不完全.

③有部分学生直接找出两平面构成的二面角,通过证明其是直角,来证明两平面垂直,但是多数学生忽略证明找到的二面角就是面AMD和面BMC的二面角,从而不能的满分.

如果学生选择向量法证明,就可体现出学生能否利用空间直角坐标系向量运算的一结论:平面的法向量数量积为0⇔两平面垂直来证明面面垂直.④用此方法解题易将一特殊位置的M点坐标代表动点M,这样是缺乏一般性的.

总的来说,第(Ⅰ)问大部分学生可以完全正确的解答,但是从少部分学生的解答过程中出现的问题①来看,反映了部分学生对立体几何的基础知识掌握不牢固,从出现的问题②和问题③可以看出部分学生的逻辑推理能力有待提高,推理论证的严密性不高,从出现问题④的学生解答中可以看出这部分学生的对于特殊和一般的数学关系理解不够透彻,还是体现出学生没有领悟从特殊到一般数学思想.所以要得全分,需要学生有扎实的知识基础,还需要在数学学习中锻炼严密的逻辑思维能力,逐渐领悟数学思想在问题解决中的运用.

1.2.2 第(Ⅱ)问的分析

第(Ⅱ)问是对学生计算两平面所成二面角的正弦值能力的考察,要学生计算满足三棱锥M－ABC体积最大时的二面角的正弦值.通常情况下这两个平面仅有一个公共点,这样的呈现方式对学生的直观想象能力要求高,大部分学生不易找出两面的公共边,进而不易找出二面角的平面角,但是此题的两个面的公共边容易画出的,这就使得学生的解题方法选择多样.学生在解答过程中主要存在以下一些问题:

①选择向量法的同学,易于错将计算出的二面角的余弦值当作问题要求的正弦值,不注意审题,不够沉着冷静.

②平面的法向量计算错误,导致此问只能得到建立空间直角坐标系的分.

③M点的位置确定错误,第二小问的M点与第一问的M点是不同的,但是很多学生意识不到,或者对体积最大的理解有误,导致后续计算都毫无意义.

④选择综合法计算的同学仍然有忽略对所找到的两平面构成的二面角平面角的证明描述,从而得不了全分.

综上所述,第(Ⅱ)问对学生来说也不是难题,但是总会由于审题不仔细、粗心大意或逻辑不严密而丢分.从问题①和问题②可以反映出学生对于考试心态调整还存在问题,从出现问题③和问题④的这部分学生解答可以发现学生灵活运用知识的能力有待提高,逻辑推理不严密,需要加深引导加强锻炼.

2 教学问题设计

只有锁定“患处”,查明原因,才能“对症下药”.针对上面对试题解答中出现的问题,设计以下教学问题来引导学生思考解题思路,书写解题过程,在全过程中感悟每种方法使用时应注意的地方.此处问题设计以涂荣豹提出数学解题的基本步骤来设计教学引导问题,让学生建立解决问题的流程,培养严密的逻辑思维能力.

2.1 理解题意

问题0通过阅读题目大家能知道些什么?

设计意图:提示学生在解题前要仔细审题,对于已知条件和问题做到心中有数,直观感知并在头脑中构建立体图形,清楚其构造,再由已知推导出一些隐含条件,为解题做好准备.

2.2 联系已解决的问题,提出解题的各种设想

问题1证明面面垂直我们可以怎么做?

设计意图:引导学生思考出“线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直”的证明思路,此思路简单明了,符合我们学习该部分知识时的认知发展规律,还能帮助学生捋清思路,提高推理论证的严密性;同时也可启发学生得出在空间直角坐标系中利用空间向量运算的结论来证明面面垂直,即利用平面的法向量数量积为0⇔两平面垂直来证明面面垂直,也就是计算出两平面的法向量,验证法向量的数量积是否为零.

问题1-1用向量法解决,我们可以如何建系?

建系可以D、C或DC中点为原点建立空间直角坐标系,如以D为坐标原点,DA为x轴,DC为y轴,以垂直交线DC,垂足为D的直线为z轴;其余的情况同理.

设计意图:学生们的建系结果应该会覆盖所有的情况,这里可提前启发学生建系时选择的原点可以不同,但意义是一样的.

问题1-2M点的位置确定吗?若建系,它的坐标是什么?

设计意图:此处提醒学生注意思考M点的坐标,引发学生的质疑,及时矫正学生将其看作确定点的错误做法,同时提示学生利用DM⊥MC关系来表示M点的坐标.

问题2那通常我们如何计算两平面所成角的正弦值?

设计意图:弄清第二小题是考查两个平面所成的角的正弦值计算,解答时学生常用的方法是向量法,因为这种方法更易于计算,对学生直观想象能力要求不高.但两平面所成角二面角易找出时可运用综合法,所以要引导学生尝试使用这种方法解决问题,以提高直观想象能力,但此时要向学生提问:“为什么你找的这个角就是所求二面角的平面角呢?”以此告诫学生应该注意逻辑推理的严密性,每一步都要言之有理.

问题2-1什么时候目标三棱锥的体积最大?此时M点在何处?

问题2-2如果建系解决,那么M点应怎么表示?

设计意图:通过思考何时三棱锥M－ABC体积最大来确定M点位置及坐标是解决此小题的关键,所以要清楚M点与上一小题的变化之处.

2.3 实现解题方案,完成解题过程

问题3现在同学们试着利用刚刚捋出来的思路找找解题需要的条件并写出自己的解法?尽可能的写出多种不同的解法.

设计意图:让学生自主找条件写解法,可以锻炼学生独立自主解题的能力,提高逻辑推理能力,尽管得不到所有解法,但通过后期的小组讨论和教师的提示,可以让学生有豁然开朗的感觉,使之得到的影响和收获更多.

问题3-1大家先完成第(Ⅰ)问的解答,写完之后小组讨论,给出最终解法总结,并给出各解法的异同.

学生的讨论出四种方法,其中有一种方法是:过M作MN//BC,MN=BC连接AN,BN做辅助线,最后直接证明面面之间的二面角是直角;有两种都是经历线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直的证明流程;还有一种是借助空间直角坐标系,应用充要条件“两向量的数量积为零.两个向量相互垂直”证明此题.

问题3-2大家观察一下第(Ⅰ)问的解法一、二、三有什么异同?

设计意图:试图让学生发现解法三和一、二都是综合法,但是存在显著差异.因为方法三是从根源上解决目标问题,直接通过证明两面的二面角是直角来达到目的.该方法容易出错,主要由于画不出MN这条辅助线,而缺少证明某角是二面角平面角的关键步骤.从侧面也反映出学生在面对做辅助线解题是的正确率是无法保证的.

问题3-3第(Ⅰ)问在采用综合法和向量法时应分别注意什么?就此题而言你更偏向哪一种?

设计意图:垂直和平行是高考立体几何的必考知识点.学生能明白只要把握好线、面关系证明的方法、空间垂直关系以及空间平行关系相互转化便可以求证,而此题证明若用向量法M点坐标的确定是难点,向量法就显得不那么适用,综合法是首选.

问题4现在完成第(Ⅱ)问的解答,写完之后小组讨论,给出最终解法总结,并给出各解法的异同.

此处学生讨论出了两种方法,其中一种是向量法,另一种是综合法(辅助线与第(Ⅰ)问一样).

问题4-1第(Ⅱ)问在采用综合法和向量法时应分别注意什么?就此题而言你更喜欢哪一种?

设计意图:帮助学生辨识在求解二面角时,综合法的难点是无法找到二面角或者添加辅助线作出二面角,当然此题的二面角是容易作出的,但是需要证明其就是二面角,这又是大部分学生的困扰.可向量法完美的避开了这些难点,直接将问题转化成求法向量的夹角问题,但是计算出的角的大小是二面角的平面角还是其补角,都需要判断,这也是容易出错的一点.

2.4 验证结论,回顾解法

问题5通过解这道题,大家对于立体几何题目有没有什么解题心得?

设计意图:通过交流,让同学们感受出实际的解题中,大部分人只偏重综合法与向量法其中一种.但是经过对具体题目的求解与分析,发现它们是同等重要的,出现一边倒的情况容易掉进出题者设计好的圈套中.所以需要告诫学生在平常的练习中综合法与向量法都要兼顾.这样才能在不同的题目类型中自如的选择恰当的方法.同时还要提醒重视对基础知识的理解和掌握,要在日常学习中加深对数学思想的领悟,提高推理论证是的严密性.

3 小结

笔者以2018年高考数学四川卷理科立体几何题为例,分析了学生在此题的解答过程中出现的问题,由此设计了教学问题以引导学生学习解决问题的基本步骤和帮助学生克服不同方法易错点,培养学生解题后的反思能力,同时在小组讨论和教师提示后,还可以提升学生发现问题、分析问题和解决问题的能力.希望通过多次的这样的教学活动提高学生的逻辑推理能力和灵活思考的一题多解的能力,让学生不仅会做题,更会思考.2018年高考虽以时过境迁,但高考题确是值得教师深入挖掘其对学生数学学习效能的重要依据和工具.