何微

拓扑线性空间是一类其线性结构与最一般的拓扑结构有机结合起来的集合。有关拓扑线性拓扑空间的研究这种拓扑代数结构以及把它们应用于分析问题的方法。拓扑线性空间理论作为泛函分析学科的一个分支产生于20世纪40--50年代。在这段时期以前，人们集中的研究了度量空间上的类似结构，这主要是Hilbert空间和Bananch空间以及这些空间的算子。从Hilbert空间和Bananch空间的研究转到拓扑线性空间的研究泛函分析发展史上的饿里程碑式的发展。无论如何，拓扑线性空间至今仍然是现代数学乃至自然科学中与之有关的各种问题和理论讨论或阐述的最广泛的框架。

同时拓扑线性空间又称拓扑向量空间，它是具有拓扑结构的线性空间，赋范线性空间概念的推广。泛函分析早期所研究的空间大都是赋范线性的。但到了30年代初，人们已经充分地认识到，无论从巴拿赫空间理论本身，還是算子代数的研究，都必须引进一般的，不只是序列收敛的弱拓扑。那时已经把巴拿赫空间的一些基本结果推广到完备的、拟赋范的线性空间上去。其后，分布理论的出现，又提出一批新空间如D空间、φ空间等等。这样大量的重要空间就不再是赋范线性的了，于是有必要在它们的基础上，建立起局部凸拓扑线性空间理论。从而开创了新的研究领域，也使泛函分析旧有的理论得到进一步发展。

本文主要对拓扑线性空间的定义做些介绍和讨论。

1 基本定义

1.1 线性空间定义

设R是实数域，C是复数域，用Φ代表二者，即或为实数域，或为复数域， Φ中的元素称为标量。

定义1： 一个集合X称为线性空间或向量空间，如果X上定义了两种运算：

1.加法“+”;对于任何x，y∈X，存在z∈X使得x+y=z，称 是x与y之和，满足

（1） x+y+z=x+（y+z）x，y，z∈X;

（2） x+y=y+x，  x，y∈X;

（3） X使得 ，X+θ=X;

（4）  ， X使得x+y=θ，记y=-x，

2. 数乘“﹒”;对于任何a∈Φ，x∈X， 使得a·x=y，称y是a与x的（数乘）积（通常省略“﹒”），满足

（1）1x=x， ;

（2） ;

（3） ， ， 。

线性空间中的元称为向量或点。若Φ=R，则称X是实线性空间;若Φ=C，则称X是复线性空间。θ称为X的零元，通常记为0，根据上下文容易区分零元与标量中的数字0。

1.2 拓扑空间定义

定义2：设X是某个集合，X的子集族 称为是X上的拓扑，若

（1）  ;

（2） 对于 的任一子集 ， · ;

（3） 对于任意有限个

， 。

此时，称（X， ）是拓扑空间，  中的每个元素成为Xf的开集，开集关于X的余集成为闭集。

对于拓扑空间中的任意一点x，包含x的开集称为x的领域。x点的领域全体称为x的领域系，记为N（x），N（x）的子族 称为点x的领域基，若x的任意一领域都包含 中的某个元。

1.3 拓扑线性空间定义

定义3：设X是标量域Φ上的线性空间，  是X上的拓扑，若

（1） 对于每一点 是X中的闭集;

（2） 线性空间的加法和数乘运算关于 拓扑连续。

则称X是拓扑线性空间或拓扑向量空间。

2 拓扑线性空间定义的分析讨论

2.1 与拓扑线性空间的相关定义与定理

紧集定义

定义4：拓扑空间（X， ）中的子集E称为是紧集，若对于E覆盖的任一开集族  （即 ），从中可选出有限多个开集Bα，i=1，2，…，n，使得它们仍然覆盖E，即 。

T1，T2分离公理

T1分离公理：在拓扑空间X中，如果任取 ，则x存在的邻域U不包含y并且存在y的邻域V不包含x，称空间X满足T1分离公理。

T2分离公理（Hausdorff分离公理）： 设X是拓扑空间，如果任取 ，则分别存在x的邻域Gx和y的邻域Gy，使得 称空间X是T2或是Hausdorff分离空间。

从上面两个定理可以容易得到，任意的Hausdorff分离空间都是满足T1的，但反过来则不然。而且我们可以得出关于Hausdorff空间的任何收敛序列极限点唯一性定理。

2.2 拓扑线性空间定义的浅析

任意拓扑线性空间是Hausdorff空间

从定义3我们可以知道条件（1）和要求X上的拓扑满足T2条件（Hausdorff空间）是一样的，首先我们先证明以下定理。

定理1：设W是0的任一邻域，则存在0的对称邻域U（即U=-U），使得U+U W。

证明：由0+0=0及加法的连续性，存在0的邻域发V1，V2，使得V1+V2 W。

令U=V1 V2 （-V1） （-V2），

则 即为所求的邻域。

显然，存在0的对称邻域U，使得U+U+…U W。

定理2 ：设K，C是拓扑线性空间X的子集，其中K是紧的，C是闭的，且K C= ，则存在0的邻域V，使得

。

证明：如果K= ，对于0的任意邻域V，K+V= ，结论显然成立。

如果 ，任取 ，则 ，由定理1，存在0的对称邻域VX，使得

则由VX的对称性有

（X+Vx+Vx） （C+Vx）=             ①

另外，由于K是紧集，存在有穷个点x1，x2，…xn K，使得

记V=VX1 VX2 … Vxn，则有

由①式，上式右边的并式中，对于每一个xi+Vxi+Vxi与C+Vxi不相交。

所以（K+V）  （C+V）=  得证。

因为 ，所以K+V是开集，同理 是开集，因此由定理2，我们有以下推论。

推论：设K是紧集，C是闭集且K C= ，则存在不相交的开集G1，G2分别包含K及C。

特别地，对任意x.y X，x X，x y，则取K-{x}及C={y}，则有得出以下定理结论。

定理3：任意拓扑线性空间都是Hausdorff空间。

推论 设X是拓扑线性空间， 。

（1）  是开集当且仅当x+λV是开集。

（2）  是0点的领域当且仅当x+λV是x的领域，特别地，-V和λV是0点的领域。

（3） 对于任何 ，若 是开集，则 是开集。

拓扑空间的局部基是指每一点的领域基，这里的（2）说明对于拓扑线性空间来说，0点的领域基可以通过平移作为任何一点的领域基。因此我们常常把0点的领域基称作空间的局部基。从拓扑学的知识，若线性空间的两个拓扑都使之成为拓扑线性空间并且两者具有相容的局部基，则两者是相容（相同）的。

在此我们可以定义加法运算的连续性是指映射（x+y）→x+y，是X×X到X中的连续影射，即对任意 ，及x+y的任意领域axV，存在x的领域V1及y的领域V2，使得V+1V2 V。

类似的，数乘运算是连续的表示映射（a，x） →ax，是K×X到X中的连续映射，即对任意 及ax的任意领域V，存在r<0及x的领域W，使得当 时， 。

由以上定义不难看出，任意赋范空间是拓扑线性空间。

3 拓扑线性空间的相关例子

现在我们先给个线性拓扑空间的例子，如下有：

例1 每个赋范空间是拓扑线性空间，正如前所说，每个赋范空间是度量空间，从而有又此度量诱导的拓扑，现在只需要验证运算“+”、“﹒”关于此度量的连续，实际上xn，x，yn，y X， ，则

‖（xn+yn）-（x+y）‖≤‖xn-x‖+‖yn-y‖

‖anxn-ax‖≤│an-a│‖x‖

这里│an│是有界的，故不难得出

Xn+yn→x+y，anxn→ax

由此即得所要的结论。

但并不是所有的拓扑空间都是线性拓扑的，其中离散拓扑空间就是最具有代表性的非线性拓扑空间的拓扑空间。

例2 考察实数轴R1是线性空间，我们考察R1上的离散拓扑，即有每一个点都是开集的拓扑。此时每个点既是开集又是闭集。

简单分析：若离散拓扑R1是线性拓扑空间，，则0点的领域是吸收的，而0点本身是个开集，则0点必是吸收集，但这是不可能的。

4 总结

从上文我们可以看到，一个拓扑空间是可以完全不具备线性结构，同样，一个线性空间也可以完全不具备拓扑结构，但两者在一些条件的约束下可以联系起来，形成新的空间结构，即就是线性拓扑空间。

基金项目：湖北科技学院科研探索基金（项目编号：ZJ0465）

（作者单位：湖北科技學院数学与统计学院）