（喀什大学 数学与统计学院，新疆 喀什 844000）

设A=（aji）∈Rn×m行满秩，x=[x1，x2…xm]T∈Rm，b=[b1，b2…bm]T∈Rn，m≥n.给定线性方程组

若令lj=[aj1aj2…ajm]T∈Rm，则线性方程组（2）可改写为

其中〈·，·〉表示Rm中向量的内积.

通常，利用初等行变换将（2）的增广矩阵

化为行最简阶梯形后，通过观察可求得（1）的某些解.特别地，当m=n 且detA≠0 时，（1）的唯一解x=A-1b可由著名的Cramer 公式给出.但是，当m≠n 时，（1）一般不存在用行列式表示的求解公式.基于此，本文将Cramer 法则推广到求（1）或（2）在R 中的公式解上.

Cramer法则 设A是一阶实矩阵.若detA≠0，则线性方程组（1）的解由公式

给出，其中，Ai是用[b1b2…bn]T替换A的第i列后所得到的矩阵[1].

文献[2]给出了Cramer 法则的一个简单而有趣的推广，即

Burgstahler定理 若线性方程组

有唯一解x1，x2，…，xn，则对∀λi∈R，有

1 主要结果

定理1对∀b∈Rn，线性方程组（1）有解的充分必要条件是

在定理1 有解的情况下，（1）的解由公式

给出，其中A*是A的转置（在复数域C 中是的共轭转置）.

推论 若n=m，则线性方程组（1）、（2）和（3）由公式（9）给出的解可写成

形式，并且它还是（1）、（2）和（3）的最小范数解.

证明 注意到，当n=m 时，（9）与Cramer 公式一致.事实上，（9）可以由公式

给出，其中（AA*）j是将AA*的第j 个列向量用b=[b1b2…bm]T替换后所得到的矩阵.同时，（11）还是最小范数解[3]，即

特别地，‖x‖=‖w‖且Aw=b⇔x=w.

定理2对∀b∈Rn，线性方程组（1）有解的充分必要条件是A的行向量组{l1，l2，…，ln}在Rm中线性无关.在有解的情况下，（1）的解由公式

给出，其中向量集（v1，v2，…，vn）（vj=[vj1，vj2，…vjm]T，j=1，2，…，n）可由Gram-Schmidt 正交化过程得到[1]，系数c1，c2，…，cn由公式

给出.

2 结果证明

利用Moore-Penrose 求逆公式和Cramer 法则不难证明公式（11）和（13）.但是，为便于理解，这里给出其在现行的《线性代数》教科书和许多文献中并不常见的直接证明.

用〈x，y〉表示Rm中向量x和y的Euclid 内积，表示向量x的范数；Im（G）和Ker（G）分别表示集合G 的值域和核.

引理1[4]设W 和Z 是Hilbert 空间.若算子G∈L（W，Z）和G*∈L（Z，W）相伴，则下列陈述成立：

（i）Im（G）=Z⇔存在γ＞0，使得

定理1的证明 因矩阵A可看作线性算子A∶Rm→Rn，即A∈L（Rm，Rn），故A的相伴算子A*∶Rn→Rm是A的转置.对∀b∈Rn，（1）有解的充分必要条件是算子A为满射[5].由引理1 可知，存在γ＞0，使得‖A*z‖Rm≥γ‖z‖Rn（∀z∈Rn）.因此，〈AA*z，z〉≥γ2‖z‖2Rn（∀z∈Rn），这表明AA*是双射.又因AA*是一n×n阶实矩阵，故det（AA*）≠0.反过来，若det（AA*）≠0，即（AA*）-1存在，则对给定的b∈Rn，x=A*（AA*）-1b就是Az=b的一个解.

因z=（AA*）-1b是方程组（AA*）w=b的唯一解，故由定理1 可得

其中（AA*）j是将AA*的第j 个列向量用b=[b1b2…bn]T替换后所得到的矩阵.因此，（1）的解x=A*（AA*）-1b可写成

的形式.此外，它还是最小范数解.事实上，若取w∈Rm使得Aw=b，则有

另一方面，

因此，‖w‖2-‖x‖2=‖w-x‖2≥0，即‖x‖≤‖w‖；特别地，当x＝w时，有‖x‖＝‖w‖.

的解.为此，令l1=[-1 -1 1 1]T，l2=[-1 1 -1 1]T，l3=[1 -1 -1 1]T，因 {l1，l2，l3} 在R3中正交，故（24）的解为x1=-1/4，x2=-1/4，x3=-1/4，x4=3/4.

3 变分解法

定理1 和定理2 虽然给出了（1）的最小范数解的公式，但它们并非求解的唯一途径.下面介绍求解（1）的变分法，其解为二次函数j∶Rn→R，即

的最小值.

引理2[6]对给定的b∈Rn，线性方程组（1）有解x∈Rm的充分必要条件为

引理3若二次函数j 有最小值ξb∈Rn，则

是（1）的一个解.

注：实际上，（27）是j 有临界点的最优条件.同时，可以验证由公式（27）和（9）给出的解完全一致.

定理3线性方程组（1）有解的充分必要条件是对∀b∈Rn，二次函数j 有最小值.

证明 设（1）有解.因A是Rm到Rn的满射，故由引理1 可知∃γ＞0，使得‖A*ξ‖2≥γ2‖ξ‖2（ξ∈Rn）.于是因此，.这是j 存在最小值的保证.

下面给出一个不能应用定理1 和定理2，却能应用引理2 的例子.