孟浩天 姜子文 苏保金

( 山东师范大学数学与统计学院，250358，济南 )

1 引 言

本文考虑分数阶Cattaneo方程[1-4]

(1)

初边值条件为

T(x,0)=∂tT(x,0)=0,

(2)

T(1,t)=0,

(3)

∂xT(0,t)=μ(t)，

(4)

其中ε为松弛时间,D为导热系数,1<β<α<2.本方程考虑温度在有限介质中的分布,温度与温度的时间导数在整个区域内的初始值为零,边界表面温度恒为一个时间常数.

Cattaneo方程是一个以有限传播速度为特征的热传导模型,它是传统Fick定律的修正[5,6]. 目前，Compte与Metzler从三种不同的角度推广Cattaneo方程,得到三种不同形式的Cattaneo模型[7]. Ghazizadeh 等人提出分数阶Cattaneo模型显式有限差分法和隐式有限差分法[8].Li Xiaoli等人研究了分数阶Cattaneo方程的块中心有限差分法[9].其中针对Cattaneo模型的研究多是在Dirichlet边界条件下进行的,研究Neumann边值条件下的相对较少.

本文研究条件(2)下的方程(1)的紧致差分格式.先通过Caputo分数阶导数的L1插值逼近得到时间3-α阶的数值格式,再用紧算子得到该方程空间四阶的紧致差分格式，并用数值算例验证其有效性.

2 记号及引理

(1)式两端对x求导,得

Ωh={xi|0≤i≤M}, Ωhτ={(xi,tn)|0≤i≤M,0≤n≤N}.

引理1[10]设h和c是两个常数,h>0,则有

(ii) 若g(x)∈C3[c-h,c+h],则有

引理2[11]记ζ(s)=(1-s)3[5-3(1-s)2],s∈[0,1],则有

(i) 若g(x)∈C6[c,c+h],则有

(ii) 若g(x)∈C6[c-h,c],则有

定理1[12]设f(t)∈C3[t0,tn],α∈(1,2),则有

3 差分格式的构造

对两个相邻时间层取平均,得

(5)

(6)

其中

应用引理1对(6)式进行空间离散,并在两端作用算子A,得

(7)

(8)

当i=0时[13],即在空间边界节点时,应用引理2及边界条件(4)式,(6)式在空间节点处可写为

(9)

(10)

另由初始条件可得

(11)

4 数值算例

本节将给出具体算例说明格式(12)-(15)的误差阶.

考虑如下Cattaneo问题：

例1取对应的精确解为u(x,t)=t2x2sin(πx),则函数f(x,t)和初边值条件μ(t)可由u(x,t)相应得到.各系数分别取为D=1,α=1.8,β=1.5,ε=0.1.

采用Matlab进行编程,Einf表示最大模误差估计,EL2表示L2模误差估计.计算结果如表1、表2所示.

表 时，最大模误差与L2模误差

表 时，最大模误差与L2模误差

例2取对应的精确解为u(x,t)=t2x2(1-x),则函数f(x,t)和初边值条件μ(t)可由u(x,t)相应得到.各系数分别取为D=1,α=1.3,β=1.1,ε=0.5.

采用Matlab进行编程,计算结果如表3所示.

表 时，最大模误差与L2模误差

通过数值算例可以看出,该格式的空间误差达到了4阶，时间误差达到了3-α阶,从而验证了格式的有效性.