祝 燕

(广东省梅县东山中学 514017)

现在我国对人才的要求是综合化、创新化，如果缺乏对事物的“举一反三”能力，将很难面对今后复杂多类的现实问题，很难适应社会的需要.一题多解是指利用不同的思维方法，对于同一个问题使用两种或者两种以上的方法策略进行分析解答.以下通过具体实例的求解进行阐述.

(1)求动点C的轨迹方程；

(2)假设直线l与动点C所形成的轨迹相切于点P，并与直线x=4相交于一点Q，那么以PQ为直径的圆是否经过x轴上的某定点？若经过，求出该点坐标；若不经过，请说明理由.

(2)方法一设而不求，精准计算.

由题意分析可知，直线l的斜率是存在的，那么可设直线l的方程为：y=kx+m.

依题意，Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)=0，即3+4k2=m2.

综合以上分析，可知以PQ为直径的圆必过x轴上的定点(1，0).

方法二善用性质结论，减少复杂运算.

将各点坐标代入整理可得(x0-t)·(4-t)+3-3x0=0，即x0(1-t)+t2-4t+3=0.

因为x0是任意取的，所以有1-t=0，t2-4t+3=0同时成立，所以t=1.

故以PQ为直径的圆必过x轴上的定点(1，0).

方法三由特殊到一般，代入验证.

易得到与x轴的交点坐标分别为(1,0)，(3,0).

小结一般情况下，对于圆锥曲线中的定点、定值问题通常有两类处理方法：

(1)参数法：对动点坐标或动直线方程系数，引进相关参数，利用参数表示坐标或系数等，然后依据题意，分析定点、定值成立的条件，得出方程，进而解方程求出答案.

(2)从特殊到一般的推理法：先选择一些特殊点(如坐标轴上的点)或特殊直线(如垂直于x轴或y轴的直线，经过原点的直线等)探究求出满足条件的点坐标或某值，再进一步证明该点或值与相关变量无关，那么即为所要求的定点或定值等.